天津市南开区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-14 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $(- 30) - (- 20)$ 的结果等于（）

A、10 B、 $- 10$ C、50 D、 $- 50$

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2. $\sqrt{3} tan 60 °$ 的值等于（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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3. 据国家邮政局统计，2021年农历除夕和初一两天，全国快递处理超130000000件，与去年同期相比增长 $223 %$ ，快递的春节“不打炸”服务确保了广大用户能够顺利收到年货，欢度佳节．将130000000用科学记数法表示应为（）

A、 $1.3 \times 10^{7}$ B、 $13 \times 10^{7}$ C、 $0.13 \times 10^{8}$ D、 $1.3 \times 10^{8}$

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4. 民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图所示的几何体，它的左视图正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 估计 $\sqrt{21} - 3$ 的值在（）

A、1和2之间 B、 $- 1$ 和0之间 C、2和3之间 D、 $- 2$ 和 $- 1$ 之间

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7. 方程组 ${\begin{matrix} 3 x + 2 y = 19 \\ 2 x - y = 1 \end{matrix}$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 5 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 5 \\ y = 2 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 5 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 5 \\ y = 9 \end{array}$

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8. 如图，已知菱形 $O A B C$ 的顶点 $O (0 ， 0) ， C (2 ， 0)$ 且 $∠ A O C = 60 °$ ，则菱形 $O A B C$ 两对角线的交点D的坐标为（）

A、 $(1 ， 1)$ B、 $(\frac{3}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(1 ， \sqrt{3})$ D、 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$

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9. 已知点 $A (- 2, y_{1}) ， B (a, y_{2}) ， C (3, y_{3})$ 在反比例函数 $y = - \frac{4}{x}$ 的图象上，且 $- 2 < a < 0$ ，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ B、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$

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10. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，点P是对角线 $B D$ 的中点，点E，F分别是 $A B ， C D$ 的中点， $A D = B C ， ∠ P E F = 23 °$ ，则 $∠ P F E$ 的度数为（）

A、 $23 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $46 °$

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11. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， B C = 6$ ，点E为 $B C$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折叠，使点B落在矩形内点F处，则下列说法错误的是（）

A、直线 $A E$ 为线段 $B F$ 的垂直平分线 B、 $∠ E F C = ∠ E C F$ C、 $B E = E F = E C$ D、 $C F = \frac{9}{5}$

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分如图所示，顶点坐标为 $(- 1 ， m)$ ，与x轴的一个交点的坐标为 $(- 3 ， 0)$ ，给出以下结论：① $a b c > 0$ ；② $4 a - 2 b + c > 0$ ；③若 $B (- \frac{5}{2} ， y_{1})$ 、 $C (- \frac{1}{2} ， y_{2})$ 为函数图象上的两点，则 $y_{1} < y_{2}$ ；④当-3 $<$ $x$ $<$ 0时方程 $a x^{2} + b x + c = t$ 有实数根，则t的取值范围是 $0 < t \leq m$ ，其中正确的结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 化简： $2 x^{2} + 1 - 3 x + 7 - 2 x^{2} + 5 x =$ .

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14. 计算 $(\sqrt{11} + 2) (\sqrt{11} - 2)$ 的结果是．

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15. 在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有个．

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16. 已知一次函数 $y = k x + 6$ 的图象经过点 $A (2 ， - 2)$ ，则k的值为．

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17. 如图①．在正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ 上有一点E ，连接 $A E$ ．点P从正方形的顶点A出发，沿 $A \to D \to C$ 以 $1cm/s$ 的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时， $△ A P E$ 的面积 $y ({cm}^{2})$ 随时间 $x (s)$ 变化的函数图象．当 $x = 7$ 时，y的值为．

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18. 如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为.

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三、解答题

19. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 2 (x - 2) \leq 2 - x ① \\ \frac{x + 2}{2} > \frac{x + 3}{3} ② \end{array}$ 请结合题意填空，完成本题的解答．

(1)、解不等式①，得；

(2)、解不等式②，得；

(3)、把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

(4)、原不等式组的解集为．

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20. 每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展了以“风飘书香满校园”为主题的读书活动．活动结束后，校教导处对本校八年级学生4月份的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，如图所示：

根据以上信息，解答下列问题；

(1)、本次接受随机抽样调查的学生人数为，扇形统计图中的没m的值为；

(2)、求本次抽取学生4月份“读书”的样本数据的平均数、众数和中位数；

(3)、已知该校八年级有700名学生，请你估计该校八年级学生中4月份“读书量”为4本的学生人数．

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21. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $P A$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ， $O P$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，连接 $B C$ ．

(1)、如图①，若 $∠ P = 20 °$ ，求 $∠ B$ 的度数．

(2)、如图②，过点 $A$ 作弦 $A D ⊥ O P$ 于点 $E$ ，连接 $D C$ ，若 $O E = \frac{1}{2} C D$ ，求 $∠ P$ 的度数．

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22. 如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东 $30 °$ 方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西 $60 °$ 方向，且B、C两地相距120海里．

(1)、求出此时点A到港口C的距离（计算结果保留根号）；

(2)、若该渔船从A处沿 $A C$ 方向向港口C驶去，当到达点 $A^{'}$ 时，测得港口B在 $A^{'}$ 的南偏东 $75 °$ 的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）．

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23. 小明骑自行车保持匀速从甲地到乙地，到达乙地后，休息了一段时间，然后以相同的速度原路返回，停在甲地．设小明出发x（min）后，到达距离甲地y（m）的地方，图中的折线表示的是y与x之间的函数关系．

(1)、甲、乙两地的距离为， a＝；

(2)、求小明从乙地返回甲地过程中，y与x之间的函数关系式；

(3)、在小明从甲地出发的同时，小红从乙地步行至甲地，保持100m/min的速度不变，到甲地停止．小明从甲地出发多长时间，与小红相距200米？

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24. 在平面直角坐标系中，O为原点，四边形 $O A B C$ 是矩形，点A，C的坐标分别是 $(3 ， 0)$ ， $(0 ， 1)$ ．点D是边 $B C$ 上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线 $y = - \frac{1}{2} x + b$ 交边 $O A$ 于点E ．

(1)、如图①，直接写出D，E两点的坐标（用含b的式子表示）．

(2)、如图②，若矩形 $O A B C$ 关于直线 $D E$ 的对称图形为矩形 $O_{1} A_{1} B_{1} C_{1}$ ，试探究矩形 $O_{1} A_{1} B_{1} C_{1}$ 与距形 $O A B C$ 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积：若改变，请说明理由；

(3)、矩形 $O A B C$ 绕着它的对称中心旋转，如果旋转前后两矩形重叠部分的图形是菱形，请直接写出这个菱形面积的最大值和最小值．

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25. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 经过 $A (4 ， 0) ， B (- 1 ， 0) ， C (0 ， 4)$ 三点．

(1)、求抛物线的函数解析式；

(2)、如图1，点D是在直线 $A C$ 上方的抛物线的一点， $D N ⊥ A C$ 于点N， $D M / / y$ 轴交 $A C$ 于点M，求 $△ D M N$ 周长的最大值及此时点D的坐标；

(3)、如图2，点P为第一象限内的抛物线上的一个动点，连接 $O P$ ， $O P$ 与 $A C$ 相交于点Q，求 $\frac{S_{△ A P Q}}{S_{△ A O Q}}$ 的最大值．

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