山西省晋一大联考2021年中考数学模拟试卷

试卷更新日期：2021-05-14 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数中，比﹣2021小的是（）

A、﹣2022 B、2021 C、0 D、﹣0.001

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2. 地铁是城市生活中的重要交通工具，地铁标志作为城市地铁的形象和符号，出现在城市的每个角落，它是城市文化的缩影．下列城市地铁的标志图案中（文字部分除外），既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列调查中，最适合采用全面调查方式的是（）

A、调查太原市市民平均每日废弃口罩的数量 B、调查某一批次LED灯泡的使用寿命 C、调查“嫦娥五号”月球探测器零部件的合格情况 D、调查太原市市民进行垃圾分类的情况

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4. 如图所示的几何体由6个相同的小正方体搭成，关于该几何体的三种视图，下列说法正确的是（）

A、仅主视图与左视图相同 B、仅主视图与俯视图相同 C、仅左视图与俯视图相同 D、主视图、左视图和俯视图都相同

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5. 下列运算正确的是（）

A、3a•2a＝5a² B、﹣6a²÷3a＝2a C、（﹣2a³+4a²﹣a）÷a＝﹣2a²+4a﹣1 D、（﹣3a）³＝﹣9a³

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6. 如图，已知直线a∥b ，将一块含45°角的直角三角尺ABC（∠C＝90°）按图示位置放置．若∠1＝30°，则∠2的度数为（）

A、30° B、45° C、60° D、75°

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7. “中国疫苗，助力全球战疫”．据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产能将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（）

A、2×10⁸ B、2×10⁹ C、2×10¹⁰ D、20×10⁸

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8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点E ， F的坐标分别为（﹣4，2），（﹣1，﹣1）．以点O为位似中心，在原点的另一侧按2：1的相似比将△OEF缩小，则点E的对应点E′的坐标为（）

A、（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ） B、（1，﹣2） C、（2，﹣1） D、（4，﹣2）

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9. 二十四节气，是我国古人根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每一个节气分别相对应于地球在黄道上每运转15°所到达的一定位置，反映了太阳对地球产生的影响．它凝聚着中华文明的历史文化精华，在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．如图是地球绕太阳公转的轨道图，若将其近似看作圆形，其半径为Rkm，则从每年的立春到立夏，地球绕太阳公转的路程是（）

A、 $\frac{π R}{2}$ km B、 $\frac{π R}{3}$ km C、 $\frac{π R}{4}$ km D、 $\frac{5 π R}{12}$ km

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10. 如图是一个正方形纸板，阴影部分是由4段以正方形边长的一半为半径的弧所围成的，这些弧所在圆的圆心分别是正方形的顶点或中心，这样的图形被称为斯坦因豪斯图形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在阴影区域的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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二、填空题

11. 计算： $\frac{1}{x + 1}$ ＋ $\frac{2}{x^{2} - 1}$ ＝．

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12. 如图是一组有规律的图案，它们是由全等的正六边形构成的，依此规律，第n个图案中正六边形的个数为．（用含有n的代数式表示）

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13. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M ， N ， F分别是边AE ， AB ， CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为°．

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14. 某学校要为生物科学活动社团提供实验器材，计划购买A ， B两种型号的放大镜，A型号的放大镜每个20元，B型号的放大镜每个15元，且所需购买A型号放大镜的数量是B型号放大镜数量的2倍，且总费用不超过1100元，则最多可以购买A型号放大镜个．

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15. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE是BC边上的中线，过点B作AE的垂线BD ，垂足为H ，交AC于点D ，则AD的长为．

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三、解答题

16. 计算：（﹣4﹣5）× ${(- \frac{2}{3})}^{2}$ ﹣ $2^{- 2}$ + ${(- \frac{1}{2})}^{3}$ ．

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17. 阅读下列解方程x²﹣9＝2（x﹣3）的过程，并解决相关问题．
解：将方程左边分解因式，得（x+3）（x﹣3）＝2（x﹣3），…第一步

方程两边都除以（x﹣3），得x+3＝2，…第二步

解得x＝﹣1…第三步

①第一步方程左边分解因式的方法是，解方程的过程从第步开始出现不符合题意，错误的原因是；

②请直接写出方程的根为．

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18. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且CD平分∠ACB ，过点D作⊙O的切线，交CA的延长线于点E ．若∠ABC＝30°．

(1)、求∠E的度数；

(2)、若AC的长为 $\sqrt{3}$ ，请直接写出DE的长．

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19. 经过近半个世纪的迅速发展，我国航天事业取得了巨大成就．随着“嫦娥五号”月球探测器携带月壤返回地球，中国探月工程“绕、落、回”计划完美收官；2021年2月10日，“天问一号”火星探测器抵达火星轨道，成为中国首颗人造火星卫星，并从距地球1.9亿千米外传回新春祝福…开学初，某学校组织首届“航天梦报国情”航天知识竞赛活动，旨在引导同学们感受祖国航天事业的成就，提升爱国热情．活动中，九年级全体同学参加了“航天知识竞赛”，为了解本次竞赛的成绩，小彬进行了下列统计活动．

收集数据：

现随机抽取九年级40名同学“航天知识竞赛”的成绩（单位：分）如下：

75 85 75 80 75 75 85 70 75 90 75 80 80 70 75 80 85 80 80 95

95 75 90 80 70 80 95 85 75 85 80 80 70 80 75 80 80 55 70 60

整理分析：

小彬按照如下表格整理了这组数据，并绘制了如下的频数直方图．

九年级40名同学“航天知识竞赛”成绩频数分布表

成绩x/分	频数（人数）
50≤x＜60	1
60≤x＜70	1
70≤x＜80	_______
80≤x＜90	18
90≤x＜100	________

(1)、请将图表中空缺的部分补充完整，并直接写出这组数据的中位数．

(2)、简要说明这40名同学“航天知识竞赛”成绩的分布情况．（写出一条即可）

(3)、活动组委会决定，给“航天知识竞赛”成绩在90分及以上的同学授予“小宇航员”称号．根据上面的统计结果，估计该校九年级560人中约有多少人将获得“小宇航员”称号．

(4)、“航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了A ， B ， C ， D四枚纪念章（除图案外完全相同）．如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号”“天问一号”“长征火箭”“天宫一号”的图案．她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给同学小彬，求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率．

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20. 阅读下列材料，并完成相应的任务．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形．

如图1，在△ABC中，AB＝AC ．小明用尺规作底边BC的垂直平分线的过程如下：

①以点A为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交AB ， AC于点D ， E；

②分别以点D ， E为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ DE的长为半径作弧，两弧交于点P；

③作射线AP ，则AP⊥BC ．

(1)、根据小明的作图方法在图1中作出图形，他得出“AP⊥BC”的依据是．

(2)、如图2，已知在四边形ABCD中，AB＝AD ， ∠ABC＝∠ADC ，求作对角线BD的垂直平分线，小亮只用直尺作直线AC ，就得到对角线BD的垂直平分线．请你帮小亮说明理由．

(3)、如图3，已知在四边形ABCD中，AD∥BC ， ∠B＝∠C ．请你只用直尺作出BC边的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹）

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21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣4x+2的图象与y轴交于点A ，与反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k≠0）的图象交于点B ， C ，且B（﹣1，m），C（n ， ﹣4）．过点A作AD⊥y轴交反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k≠0）的图象于点D ，连接BD ．

(1)、求反比例函数的表达式和点C的坐标．

(2)、求△ABD的面积．

(3)、请直接写出不等式 $\frac{k}{x}$ ＜﹣4x+2的解集．

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22. 山西省隰县盛产香梨，被称为“隰县玉露香”．县政府运用“互联网+玉露香梨”的发展思路，探索“爱心助农精准脱贫”的方式，构建“隰县玉露香”电商生态圈，使隰县成为中国北方最大的电商孵化基地，2021年春节期间，“隰县玉露香”在网上热销，某电商看准商机，用10000元购进一批“隰县玉露香”，销量可观，于是又用18000元购进一批同款规格的“隰县玉露香”，但第二次的进价比第一次每箱上涨20元，第二次所购数量恰好是第一次的1.5倍．

(1)、求第一次购进的“隰县玉露香”每箱的价格．

(2)、政府为推进农村电商高质量可持续发展，在隰县新建一批移动信号发射塔，以提高农村互联网的传输效率．如图，是一个新建的移动信号发射塔AC ，其高AC＝15m．用测角仪在山脚下的点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42°，点A ， C ， D在同一条铅垂线上．果农要在山脚B处修建房屋以方便管理梨园，按国家规定，通讯基站离居民居住地至少100m就可不受信号塔辐射的影响．请判断在点B处的房屋是否受信号塔塔顶A发出的信号辐射的影响．（测角仪、房屋的高度忽略不计；结果精确到0.1m；参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°＝0.75，sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°≈0.90）

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23. 综合与实践﹣﹣图形变换中的数学问题．
问题情境：

如图1，在Rt△ABC中，AB＝5，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°．将△ABC沿AC翻折得到△ADC ，然后展平，两个三角形拼成四边形ABCD ．

(1)、求证：四边形ABCD是正方形．

(2)、初步探究：
将△ABC从图1位置开始绕点B按逆时针方向旋转角度α（0°＜α＜90°），得到△EBF ，其中点A ， C的对应点分别是点E ， F ，连接AE ， FC并分别延长，交于点M ．试猜想线段AM与FM的数量关系和位置关系，并说明理由．

(3)、如图3，连接DE ，当DE∥CM时，请直接写出CM的长．

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24. 综合与探究：
如图，抛物线y＝﹣ $\frac{1}{8}$ x²+x+6与x轴交于点A ， B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ，直线l经过B ， C两点．

(1)、求A ， B两点的坐标及直线l的函数表达式．

(2)、点D是直线l上方抛物线上一点，其横坐标为m ，过点D作直线DE⊥x轴于点E ，交直线l于点F ．当DF＝2EF时，求点D的坐标．

(3)、在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P ，使得∠PAB＝2∠DAB？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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