山东省邹城市2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-14 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 如果a与 $- 2$ 互为倒数，那么a是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、2

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2. 下列等式成立的是（）

A、 ${(- 3)}^{- 2} = - 9$ B、 ${(- 3)}^{- 2} = \frac{1}{9}$ C、 ${(a^{12})}^{2} = a^{14}$ D、 ${(a^{- 2})}^{2} = a^{4}$

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3. 函数y= $\frac{1}{\sqrt{x - 1}}$ 的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（）

A、圆柱 B、正方体 C、圆锥 D、球

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5. 若关于x的一元二次方程 $k x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A、 $k > - 1$ B、 $k < 1$ C、 $k > - 1$ 且 $k \neq 0$ D、 $k < 1$ 且 $k \neq 0$

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6. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线的长分别为2和5，P是对角线 $A C$ 上任一点（点P不与点A，C重合），且 $P E // B C$ 交 $A B$ 于E， $P F // C D$ 交 $A D$ 于F，则阴影部分的面积是（）

A、10 B、7.5 C、5 D、2.5

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7. 已知抛物线y=ax²+bx+c与反比例函数y= $\frac{b}{x}$ 的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y=bx+ac的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，P点的坐标为（3，2），过P点的直线 $A B$ 分别交x轴和y轴的正半轴于A，B两点，作 $P M ⊥ x$ 轴于M点，作 $P N ⊥ y$ 轴于N点，若 $△ P A M$ 的面积与 $△ P B N$ 的面积的比为 $\frac{4}{9}$ ，则直线 $A B$ 的解析式为（）

A、 $y = x + 6$ B、 $y = x + 5$ C、 $y = - x + 6$ D、 $y = - x + 5$

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9. 一种商品进价为每件a元，按进价增加25％出售，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还盈利（）

A、0.125a元 B、0.15a元 C、0.25a元 D、1.25a元

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10. 如图，平面直角坐标系中， $△ O A_{1} B_{1}$ 是边长为2的等边三角形，作 $△ B_{2} A_{2} B_{1}$ 与 $△ O A_{1} B_{1}$ 关于点 $B_{1}$ 成中心对称，再作 $△ B_{2} A_{3} B_{3}$ 与 $△ B_{2} A_{2} B_{1}$ 关于点 $B_{2}$ 成中心对称，如此作下去，则 $△ B_{2 n - 1} A_{2 n} B_{2 n}$ （n是正整数）的顶点 $A_{2 n}$ 的坐标是（）

A、（ $4 n - 1$ ， $- \sqrt{3}$ ） B、（ $4 n - 1$ ， $\sqrt{3}$ ） C、（ $4 n + 1$ ， $- \sqrt{3}$ ） D、（ $4 n + 1$ ， $\sqrt{3}$ ）

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二、填空题

11. 已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数字用科学记数法表示为.

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12. 分解因式： $x^{3} - 4 x$ =

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13. 一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的3个红球2个黑球，现从中随机一次摸出两个球恰好一红一黑的概率为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，点A的坐标为 $(- 1 ， 1)$ ，点B的坐标为 $(3 ， 1)$ ，点C的坐标为 $(- 2 ， 3)$ ，如果要使以A，B，D为顶点的三角形与 $△ A B C$ 全等（点D不与点C重合），那么点D的坐标是．

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15. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $A C = 3$ ，点D是 $B C$ 上一动点，连结 $A D$ ，将 $△ A C D$ 沿 $A D$ 折叠，点C落在点C'，连结DC'交 $A B$ 于点E，连结AC'，BC'．当 $△ B C' D$ 是直角三角形时， $D E$ 的长为．

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三、解答题

16. 先化简，再求值： $(x + \frac{2 x y + y^{2}}{x}) \div \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} - x y}$ ，其中 $x = 2 \sqrt{3}$ ， $y = \sqrt{3}$ ．

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17. 如图，一次函数 $y = - \frac{1}{2} x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于A，B两点，与x轴交于C点．已知A点的坐标为（ $- 2$ ，3）．

(1)、求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)、作 $A M ⊥ x$ 轴，垂足为M，求 $△ A B M$ 的面积．

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18. 在一次社会调查活动中，小华收集到某“健步走运动”团队中20名成员一天行走的步数，记录如下：

5640　 6430 　6520 　6798 　7325 8430　 8215 　7453　 7446　 6754

7638　 6834　 7326　 6830　 8648 8753　 9450 　9865　 7290　 7850

对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理绘制了如下尚不完整的统计图表：

步数分组统计表

组别	步数分组	频数
A	5500≤x＜6500	2
B	6500≤x＜7500	10
C	7500≤x＜8500	m
D	8500≤x＜9500	3
E	9500≤x＜10500	n

请根据以上信息解答下列问题：

(1)、填空：m＝， n＝；

(2)、补全频数直方图；

(3)、这20名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在组；

(4)、若该团队共有120人，请估计其中一天行走步数不少于7500步的人数．

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19. 如图， $A B$ 为⊙O的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点M，过B点作 $B E ∥ C D$ ，交 $A C$ 的延长线于点E，连接 $B C$ ．

(1)、求证： $B E$ 为⊙O的切线；

(2)、如果 $C D = 6 ， \tan ∠ B C D = \frac{1}{2}$ ，求⊙O的直径．

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20. 某校在去年购买A ， B两种足球，费用分别为2400元和2000元，其中A种足球数量是B种足球数量的2倍，B种足球单价比A种足球单价多80元/个．

(1)、求A ， B两种足球的单价；

(2)、由于该校今年被定为“足球特色校”，学校决定再次购买A ， B两种足球共18个，且本次购买B种足球的数量不少于A种足球数量的2倍，若单价不变，则本次如何购买才能使费用W最少？

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21. $▱ A B C D$ ，过点D作 $E D ⊥ A D$ 交 $A B$ 的延长线于点E， $B E = A B$ ．

(1)、如图1，求证：四边形 $B D C E$ 是菱形；

(2)、P为线段 $B C$ 上一点，点M，N在直线 $A E$ 上，且 $P M = P B$ ， $∠ D P N = ∠ B P M$ ．
①当 $∠ A = 60 °$ 时，如图2，求证： $C D = P B + B N$ ．

②当 $∠ A = 45 °$ 时，如图3，线段 $C D$ ， $P B$ ， $B N$ 的数量关系如何？（请直接写出猜想的结论）

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22. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 过原点，且与x轴交于点 $A (2 ， 0)$ ．

(1)、求抛物线的解析式及顶点B的坐标；

(2)、已知 $C (3 ， m)$ 为抛物线上一点，连接 $O B$ ， $O C$ ， $B C$ ，求 $\tan ∠ O B C$ 的值；

(3)、在第一象限的抛物线上是否存在一点P，过点P作 $P M ⊥ x$ 轴于点M，使以O，P，M三点为顶点的三角形与 $Δ O B C$ 相似，若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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