山东省枣庄市薛城区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-14 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 方程x²+x-12=0的两个根为（）

A、x₁=-2，x₂=6 B、x₁=-6，x₂=2 C、x₁=-3，x₂=4 D、x₁=-4，x₂=3

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2. 大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为 $10 cm$ ，像距为 $15 cm$ ，蜡烛火焰倒立的像的高度是 $6 cm$ ，则蜡烛火焰的高度是（）

A、 $3cm$ B、 $4 cm$ C、 $6 cm$ D、 $9 cm$

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3. 要得到抛物线 $y = \frac{1}{2} {(x - 6)}^{2} + 3$ ，可以将抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ （）

A、向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度 B、向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度 C、向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度 D、向左平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度

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4. 如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠B＝25°，则∠C的大小等于（）

A、25° B、20° C、40° D、50°

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5. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为13，对角线 $A C = 24$ ，点E、F分别是边 $C D$ 、 $B C$ 的中点，连接 $E F$ 并延长与 $A B$ 的延长线相交于点G，则 $E G =$ （）

A、13 B、10 C、12 D、5

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6. 图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S_主＝x²+2x ， S_左＝x²+x ，则S_俯＝（）

A、x²+3x+2 B、x²+2 C、x²+2x+1 D、2x²+3x

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7. 如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）

A、4.5 B、4 C、3 D、2

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8. 如图①，正方形 $A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 相交于点O，E是 $O D$ 的中点，动点P从点E出发，沿着 $E \to O \to B \to A$ 的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段 $A P$ 的长度 $y$ 随着运动时间x的函数关系如图②所示，则 $A B$ 的长为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、4 C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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9. 如图，△OA₁B₁ ， △A₁A₂B₂ ， △A₂A₃B₃ ， …是分别以B₁ ， B₂ ， B₃ ， …为直角顶点，斜边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其直角顶点B₁（x₁ ， y₁），B₂（x₂ ， y₂），B₃（x₃ ， y₃），…均在反比例函数y＝ $\frac{4}{x}$ （＞0）的图象上，则y₁+y₂+y₃+…+y₁₀的值为（　　）

A、 $2 \sqrt{10}$ B、6 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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10. 若二次函数y＝a²x²﹣bx﹣c的图象，过不同的六点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、D（ $\sqrt{2}$ ，y₁）、E（2，y₂）、F（4，y₃），则y₁、y₂、y₃的大小关系是（　　）

A、y₁＜y₂＜y₃ B、y₁＜y₃＜y₂ C、y₂＜y₃＜y₁ D、y₂＜y₁＜y₃

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11. 如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F ，交AB于E ，点G是AE中点且∠AOG＝30°，①DC＝3OG；②OG＝ $\frac{1}{2}$ BC；③△OGE是等边三角形；④S_△AOE＝ $\frac{1}{6}$ S矩形ABCD ，则下列结论正确的个数为（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴是 $x = 1$ ．下列结论：① $a b c > 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $8 a + c < 0$ ；④ $5 a + b + 2 c > 0$ ，正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题

13. 在△ABC中，若 $| \sin A - \frac{\sqrt{2}}{2} | + {(\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos B)}^{2} = 0$ ，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数为.

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14. 如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为2m，水面宽AB为8m，则输水管的半径为m.

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15. 如果关于x的方 $x^{2} + k x + \frac{3}{4} k^{2} - 3 k + \frac{9}{2} = 0$ 的两个实数根分别为x₁ ， x₂ ，那么 $\frac{x_{1}^{2020}}{x_{2}^{2021}}$ 的值为．

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16. 如图，平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，测第70次旋转结束时，点D的坐标为．

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17. 如图，在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象上有一点A向x轴垂线交x轴于点C ， B为线段AC的中点，又D点在x轴上，且OD＝3OC ，则△OBD的面积为．

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18. 如图，在△ABC中，BA＝BC ， ∠ABC＝90°，AD＝DB ， BE⊥DC于E ，连接AE并延长交BC与F ，以下说法正确的有．（直接填序号）
①BE＝DE•EC；②EA＝EB；③AE：EF＝3：2；④FC²＝FE•FA ．

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19. 如图，E ， F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF ．连接CF交BD于点G ，连接BE交AG于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．

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20. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴， $\frac{O A}{O B} = \frac{3}{4}$ ，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C ，与AB交于点D ，反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象过点C ．当以CD为边的正方形的面积为 $\frac{4}{7}$ 时，k的值为．

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三、解答题

21. 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据： $\sqrt{3}$ ≈1.732）

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22. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD.过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E.

(1)、求证：AD∥EC；

(2)、若AB＝12，求线段EC的长.

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23. 阅读材料：已知方程p²﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q²＝0且pq≠1，求 $\frac{p q + 1}{q}$ 的值．
解：由p²﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q²＝0可知p≠0，

又∵pq≠1，

∴p≠ $\frac{1}{q}$ ．

∵1﹣q﹣q²＝0可变形为 ${(\frac{1}{q})}^{2} - \frac{1}{q}$ ﹣1＝0，

根据p²﹣p﹣1＝0和 ${(\frac{1}{q})}^{2} - \frac{1}{q}$ ﹣1＝0的特征，

∴p、 $\frac{1}{q}$ 是方程x²﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，

则p+ $\frac{1}{q}$ ，即 $\frac{p q + 1}{q} = 1$ ．

根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．

已知：2m²﹣5m﹣1＝0， $\frac{1}{n^{2}} + \frac{5}{n} - 2 = 0$ ，且m≠n ，求：

(1)、mn的值；

(2)、 $\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}}$ ．

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24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数 $y = - x + b$ 的图像与函数 $y = \frac{k}{x}$ (x＜0)的图像相交于点A(﹣1，6)，并与x轴交于点C.点D是线段AC上一点，△ODC与△OAC的面积比为2：3.

(1)、k＝， b＝；

(2)、求点D的坐标；

(3)、若将△ODC绕点O逆时针旋转，得到△OD′C′，其中点D′落在x轴负半轴上，判断点C′是否落在函数 $y = \frac{k}{x}$ (x＜0)的图像上，并说明理由.

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25. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 是对角线， $∠ C A B = 90 °$ ，以点A为圆心，以 $A B$ 的长为半径作 $⊙ A$ ，交 $B C$ 边于点E，交 $A C$ 于点F，连接 $D E$ .

(1)、求证： $D E$ 与 $⊙ A$ 相切；

(2)、若 $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 4$ ，求阴影部分的面积.

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26. 在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动.

(1)、活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移.
（思考）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由.

(2)、（发现）当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）.求AF的长.

(3)、活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）.
（探究）当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由.

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27. 已知抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

(1)、求抛物线的函数关系式；

(2)、设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

(3)、在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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28. 已知抛物线y＝x²+bx+c的顶点为P ，与y轴交于点A ，与直线OP交于点B ．

(1)、如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），①试确定抛物线的解析式；②若当m≤x≤3时，y＝x²+bx+c的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，若M点是直线AB下方抛物线上的一点，且S_△ABM≥3，求M点横坐标的取值范围；

(3)、如图2，若点P在第一象限，且PA＝PO ，过点P作PD⊥x轴于点D ，将抛物线y＝x²+bx+c平移，平移后的抛物线经过点 A、D ，与x轴的另一个交点为C ，试探究四边形OABC的形状，并说明理由．

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