山东省济南市历下区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-14 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 5的相反数是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\pm 5$ C、25 D、 $- 5$

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2. 如图是由几个相同的小正方体堆砌成的几何体，其左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 嫦娥五号从月球风驰电掣般返回地球的速度接近第二宇宙速度，即112000米/秒，数字112000用科学记数法表示为（　　）

A、112×10³ B、1.12×10³ C、1.12×10⁵ D、1.12×10⁶

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4. 如图，已知 $A B / / C D$ ， $C E$ 平分 $∠ A C D$ ， $∠ A B E = 150 °$ ，则 $∠ A$ 为（）

A、 $110 °$ B、 $120 °$ C、 $135 °$ D、 $150 °$

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5. “致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光，在下列标识或简图中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 下列计算结果正确的是（）

A、 $2 a + 3 b = 5 a b$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ C、 $a^{6}$ ÷ $a^{2} = a^{3}$ D、 ${(- a^{3} b^{5})}^{2} = a^{6} b^{10}$

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7. 如图，函数 $y = k x + b$ 经过点 $A (- 3 ， 2)$ ，则关于x的不等式 $k x + b < 2$ 的解集为（）

A、 $x > - 3$ B、 $x < - 3$ C、 $x > 2$ D、 $x < 2$

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8. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 的三个顶点 $O (0 ， 0) ， A (4 ， 1) ， B (4 ， 4)$ 均在格点上，将 $△ O A B$ 绕原点O按顺时针方向旋转 $90 °$ 后得到 $△ O A_{1} B_{1}$ ，则点A的对应点 $A_{1}$ 的坐标为（）

A、 $(- 4 ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 4)$ C、 $(1 ， - 4)$ D、 $(4 ， - 1)$

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9. 如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（）

A、极差是8℃ B、众数是28℃ C、中位数是24℃ D、平均数是26℃

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10. 函数 $y = \frac{k}{x}$ 和 $y = - k x + k (k \neq 0)$ 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 如图，车库宽 $A B$ 的长为3米，一辆宽为1.8米（即 $M N = 1.8$ ）的汽车正直停入车库 $(M N / / A B)$ ，车门 $C D$ 长为1.2米，当左侧车门 $C D$ 接触到墙壁时，车门与车身的夹角 $∠ C D E$ 为 $45 °$ ，此时右侧车门开至最大的宽度 $F G$ 的长为（）

A、 $\frac{3}{5} \sqrt{3}$ 米 B、 $\frac{3}{5}$ 米 C、 $\frac{4}{5}$ 米 D、 $(\frac{6}{5} - \frac{3}{5} \sqrt{2})$ 米

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12. 二次函数 $y = (m + 1) x^{2} - 2 m x + m - 2$ 的图象与x轴有两个交点 $(x_{1}, 0)$ 和 $(x_{2}, 0)$ ，下列说法：①该函数图象过点 $(1, - 1)$ ；②当 $m = 0$ 时，二次函数与坐标轴的交点所围成的三角形面积是 $2 \sqrt{2}$ ；③若该函数的图象开口向下，则m的取值范围为 $- 2 < m < - 1$ ；④当 $m > 0$ ，且 $- 2 ⩽ x ⩽ - 1$ 时，y的最大值为 $(9 m + 2)$ ．正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①②③④

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二、填空题

13. 分解因式： $m^{2} - 4$ = ．

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14. 分别标有数0， $- 2$ ，1，3， $- 1$ 的五张卡片，除数字不同外其它均相同，从中任意抽取一张，那么抽到负数的概率是．

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15. 已知 $x, y$ 满足方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + y = 5 \\ x + 3 y = - 1 \end{array}$ ，则代数式 $x + y =$ .

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16. 如图，正五边形 $A B C D E$ 的边长为2，以 $A B$ 为边作等边 $△ A B F$ ，则图中阴影部分的面积为．

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17. 某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格，图中 $l_{1} ， l_{2}$ 分别表示去年、今年水费y（元）与用水量 $x (m^{3})$ 之间的关系，小雨家去年用水量为 $140 m^{3}$ ，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多元．

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，点P为 $A B$ 边上一点，将 $△ A P B$ 沿 $P B$ 翻折，点A落在点 $A^{'}$ 处，当点 $A^{'}$ 在矩形的对角线上时， $A P$ 的长度为．

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三、解答题

19. ${(- 1)}^{4} + | \sqrt{12} - 1 | - \tan 60 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

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20. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x < x + 2 \\ \frac{x}{2} > \frac{x - 1}{3} \end{array}$ ，并把解集在数轴上表示出来．

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21. 如图， $▱ A B C D$ 中，F在 $C D$ 延长线上， $D C = D F$ ， $F B$ 交 $A D$ 于点E ．求证： $D E = E A$ ．

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22. “停课不停学，学习不延期”，我市通过教育资源公共服务平台为全市中小学生提供公益在线“空中课堂”，为了解学生每天的学习情况，在全市随机抽取了部分学生进行问卷调查，现将调查情况汇总成如下不完整的表格和统计图．

等级	学习时间 $x / h$	人数/人
A	$x ⩽ 2$	40
B	$2 < x ⩽ 3$	180
C	$3 < x ⩽ 4$	160
D	$x > 4$

(1)、这次参与问卷调查的初中生有人，中位数落在等级里；

(2)、补全条形统计图；

(3)、在扇形统计图中，“A”等级对应的圆心角的度数为度；

(4)、若我市有初中生6.4万人，请根据抽样调查结果，估计全市初中生每天参与“空中课堂”学习时间超过

4 h

的人数．

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23. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，直线 $C E$ 与 $⊙ O$ 相切于点C ， $A D ⊥ C E$ ，垂足为D ．

(1)、求证： $A C$ 平分 $∠ D A B$ ；

(2)、若 $A D = 4$ ， $\cos ∠ C A B = \frac{4}{5}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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24. 生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业，加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任，某小区购进A型和B型两种分类垃圾桶，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花20元，购买A型、B型垃圾桶各花费了1000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍．

(1)、求购买一个A型垃圾桶和一个B型垃圾桶各需多少元？

(2)、若小区一次性购买A型和B型垃圾桶共60个，要使总费用不超过2000元，最少要购买多少个A型垃圾桶？

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25. 如图1，矩形 $O A B C$ 的顶点A ， C分别落在x轴，y轴的正半轴上，点 $B (4 ， 3)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象与 $A B$ ， $B C$ 分别交于D ， E两点， $B D = 1$ ，点P是线段 $O A$ 上一动点．

(1)、求反比例函数关系式和点E的坐标；

(2)、如图2，连接 $D E ， P E ， P D$ ，求 $△ P D E$ 周长的最小值；

(3)、如图3，当 $∠ P D O = 45 °$ 时，求线段 $O P$ 的长．

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26. 如图1，在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ，点D是直线 $B C$ 上一点，在射线 $D A$ 上取一点E ，使 $A D = A E$ ，以 $A E$ 为边作等边 $△ A E F$ ，连接 $E C$ ．

(1)、若点D是 $B C$ 的中点，则 $E A =$ ， $E C =$ ；

(2)、如图2，连接 $B F$ ，当点D由 $B C$ 中点向点C运动时，请判断 $B F$ 和 $E C$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、如图3，点D在 $B C$ 延长线上，连接 $B F ， B E$ ，当 $B E / / A C$ 时，求 $B F$ 的长．

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27. 抛物线 $y = - x^{2} + b x + 3$ 与x轴交于 $A (- 3 ， 0) ， B (1 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C ，点D为抛物线的顶点．

(1)、求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

(2)、在直线 $A C$ 上方的抛物线上找一点P ，使 $S_{△ A C P} = \frac{1}{2} S_{△ A C D}$ ，求点P的坐标；

(3)、在坐标轴上找一点M ，使以点B ， C ， M为顶点的三角形与 $△ A C D$ 相似，直接写出点M的坐标．

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