内蒙古包头市2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-14 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列计算结果为正数的是（）

A、 $- | - 2 |$ B、 $- {(- 1)}^{0}$ C、 ${(- 1)}^{- 2}$ D、 $- 3^{2}$

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2. 某种福利彩票特等奖的中奖率为 $\frac{1}{5000000}$ ，把 $\frac{1}{5000000}$ 用科学记数法表示为（）

A、 $5 \times 10^{- 7}$ B、 $5 \times 10^{- 6}$ C、 $2 \times 10^{- 7}$ D、 $2 \times 10^{- 6}$

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3. 如图，由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若代数式 $\frac{1}{\sqrt{x} - 1}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \geq 0$ B、 $x \neq 1$ C、 $x \geq 0$ 且 $x \neq 1$ D、 $x > 1$

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5. 小明的作业本上有以下四题：① $- (a - 1) = 1 - a$ ；② ${(a^{2})}^{3} - {(- a^{3})}^{2} = 0$ ；③ $a^{5} + a^{5} = 2 a^{5}$ ；④ ${(2 a)}^{3} = 6 a^{3}$ ．做错的题是（）

A、① B、② C、③ D、④

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6. 在安全教育知识竞赛中，某校对学生成绩进行了抽样调查，被抽取的7名学生的成绩如下（单位：分）：85，92，93，87，95，94，92，则这组数据的中位数和众数分别是（）

A、92，92 B、92，93 C、93，92 D、87，92

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7. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y = - \frac{1}{2} x + 5$ 与x轴、y轴分别交于点A和点B ，直线 $l_{2}$ 经过坐标原点，且 $l_{2} ⊥ l_{1}$ ，垂足为C ，则点C到y轴的距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 34 °$ ，将 $△ A B C$ 沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则 $\frac{1}{2} (∠ 1 - ∠ 2)$ 的度数是（）

A、 $68 °$ B、 $64 °$ C、 $34 °$ D、 $32 °$

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9. 如图，点A ， B ， C在 $⊙ O$ 上，四边形 $O A B C$ 是平行四边形．若对角线 $A C = 2 \sqrt{3}$ ，则 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为（）

A、 $\frac{3 π}{2}$ B、 $\frac{5 π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3} π}{3}$

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10. 下列命题正确的是（）

A、若 $| - x | = - x$ ，则 $x \geq 0$ B、m ， n为整数，若 $2^{m} = a, 2^{n} = b$ ，则 $2^{m + 3 n} = a + b^{3}$ C、若 ${(x - 1)}^{0} = 1$ ，则 $x > 1$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$

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11. 如图， $▱ A B C D$ 的顶点A ， C在反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 的图象上，顶点B ， D在反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象上， $C D / / y$ 轴，对角线 $A C ， B D$ 的交点恰好是坐标原点O ．若 $S_{▱ A B C D} = 24 ， k_{1} = - 2 k_{2}$ ，则 $k_{1}$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、 $- 6$ C、 $- 8$ D、 $- 10$

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12. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E是对角线 $B D$ 上一点 $(B E < D E)$ ，将线段 $C E$ 绕点C按顺时针方向旋转 $90 °$ 得到线段 $C E^{'}$ ，连接 $A E ， D E^{'} ， E E^{'}$ ．
下列结论：

①若 $∠ B A E = 20 °$ ，则 $∠ D E^{'} E = 70 °$ ；

② $B E^{2} + D E^{2} = 2 A E^{2}$ ；

③若 $∠ B A E = 30 °$ ，则 $D E = \sqrt{2} B E$ ；

④若 $B C = 9 \sqrt{2} ， E C = 10$ ，则 $\sin ∠ D E C = \frac{9}{10}$ ．

其中正确的结论有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题

13. 已知 $y = x - 3$ ，则代数式 $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ 的值为．

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14. 若不等式组 ${\begin{array}{l} x + 5 < 3 x - 1 \\ x > m \end{array}$ 的解集是 $x > 3$ ，则m的取值范围是．

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15. 六个学生进行投篮比赛，投进的个数分别为14，15，15，17，17，18，这六个数的平均数是．

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16. 化简： $(\frac{1}{a - 1} - 1) \div \frac{a^{2} - 4}{a^{2} - a} =$ ．

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，D是 $A B$ 上一点，且 $A D = \frac{7}{3} ， D E / / B C ， ∠ D B E = 90 °$ ，连接 $A E$ ．若 $A C = 3 ， B C = 4$ ，则 $A E$ 的长为．

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18. 如图，在等边三角形 $A B C$ 中，点D ， E分别在边 $A B ， A C$ 上，把 $△ A B C$ 沿着 $D E$ 翻折，使点A恰好落在边 $B C$ 上的点P处．若 $△ B D P$ 的周长为4， $△ C P E$ 的周长为5，则 $\frac{A D}{A E}$ 的值为．

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19. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 30 °$ ， $A D = 6$ ，点P ， M分别是边 $A B$ 和对角线 $B D$ 上的动点，则 $A M + P M$ 的最小值为．

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20. 在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为 $(0 ， 2)$ 和 $(4 ， 2)$ ．若抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + 3 (a < 0)$ 与线段 $A B$ 有且只有一个交点，则a的取值范围是．

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三、解答题

21. 如图，一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成三个面积相等的扇形，每个扇形分别标有数字 $- 3$ ，1，2．转动转盘两次，待转盘自动停止后，指针指向扇形内的数字分别作为关于x的一元二次方程 $a x^{2} + 2 x + c = 0$ 中的a ， c的值（若指针指向两个扇形的交线，则不计该次转动，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．其中第一次转动转盘后指针指向扇形内的数字记为a ，第二次转动转盘后指针指向扇形内的数字记为c ．

(1)、请用列表或画树状图的方法写出 $(a ， c)$ 所有可能出现的结果；

(2)、求出关于x的一元二次方程 $a x^{2} + 2 x + c = 0$ 有两个实数根的概率．

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22. 如图，数学实践活动小组想测量塔 $C D$ 的高度．一测量人员在A处仰望塔顶，测得仰角为 $30 °$ ，再往塔的方向前进60米至B处，测得仰角为 $75 °$ （测量人员身高不计）．

(1)、求塔 $C D$ 的高度；

(2)、求测量人员在B处时，他到塔 $C D$ 的距离．

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23. 某水果店销售一种水果，经市场调查发现，这种水果的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，这种水果的进价为a（元/千克），日销售利润为w（元），当销售单价为14元，日销售利润为384元．

(1)、求y关于x的函数关系式及a的值；

(2)、当这种水果的销售单价是多少时，日销售获得的利润最大？

(3)、若该水果店一次性购进这种水果550千克，这种水果的保质期为10天，按照（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批水果？请说明理由．

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点D ，过点D作 $M N ⊥ A C$ ，垂足为M ，交 $A B$ 的延长线于点N ，过点B作 $B G ⊥ M N$ ，垂足为G ，连接 $C N$ ．

(1)、求证：直线 $M N$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $B D^{2} = A C \cdot B G$ ；

(3)、若 $B N = O B$ ， $⊙ O$ 的半径为1，求 $\tan ∠ A N C$ 的值．

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25. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， B C = 6$ ，E是 $A D$ 上一点，且 $A E = 2$ ，M是 $A B$ 上一动点，N是射线 $B C$ 上一动点，连接 $M E$ 并延长交 $C D$ 的延长线于点F ，连接 $E N$ ，当 $∠ M E N = 90 °$ 时，连接 $N F$ ．

(1)、如图1，当点N在点C的左侧时，连接 $M N ， N F$ 与 $A D$ 相交于点H ，点K在 $E F$ 上，连接 $H K$ ．
①若 $N C = 2$ ，求 $A M$ 的长；

②在①的条件下，若 $K F = \sqrt{5}$ ，求证： $K H / / M N$ ；

(2)、如图2，当点N在点C的右侧时，过点E作 $E G ⊥ N F$ ，垂足为G ．若 $C N = 1$ ，求 $M F + \frac{\sqrt{2}}{2} E G$ 的值．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 与x轴交于 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C ，连接 $A C ， B C$ ．

(1)、求此抛物线的解析式及对称轴；

(2)、D是抛物线的对称轴上一点，且位于x轴的下方．若 $S_{△ A C D} = 6$ ，求点D的坐标；

(3)、取点 $E (0 ， 2)$ ，连接 $A E$ ，在第四象限内的抛物线上是否存在一点F ，使得 $∠ B C F = ∠ C A E$ ？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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