北京市门头沟区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-14 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 如图，在 $△ A B C$ 中，BC边上的高是（）

A、CD B、AE C、AF D、AH

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2. 根据国家卫健委官网统计，截至2021年4月10日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗16447.1万剂次，将16447.1万用科学记数法表示为（）

A、 $1.64471 \times 10^{4}$ B、 $1.64471 \times 10^{8}$ C、 $1.64471 \times 10^{9}$ D、 $1.64471 \times 10^{10}$

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3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、等边三角形 B、平行四边形 C、等腰梯形圆 D、圆

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4. 某个几何体的展开图如图所示，该几何体是（）

A、三棱柱 B、三棱锥 C、长方体 D、圆柱

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5. 内角和与外角和相等的多边形是（）

A、六边形 B、五边形 C、四边形 D、三角形

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6. 如图，直线AB ， CD交于点O ，射线OE平分 $∠ C O B$ ，若 $∠ B O D = 40 °$ ，则 $∠ A O E$ 等于（）

A、 $40 °$ B、 $100 °$ C、 $110 °$ D、 $140 °$

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7. 点a ， b在数轴上的位置如图所示，且满足 $a + b > 0$ ， $a \cdot b < 0$ ，则原点所在的位置有可能是（）

A、点A B、点B C、点C D、点D

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8. 在物理实验室实验中，为了研究杠杆的平衡条件，设计了如下实验，如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F ，或调整钩码位置即改变力臂L ，确保杠杆水平平衡，则力F与力臂L满足的函数关系是（）

A、正比例函数关系 B、反比例函数关系 C、一次函数关系 D、二次函数关系

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二、填空题

9. 若 $\sqrt{x + 3}$ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

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10. 如图所示的网格是正方形网格，点A ， B ， C是网格线交点，那么 $∠ B A C + ∠ A C B =$ $°$ ．

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11. 请你写出一个大于2小于3的无理数是．

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12. 已知 $x + y = - 1$ 且 $| x | > 1$ ，写出一组符合条件的值．

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13. 关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} - x + 1 = 0$ 有两个实数根，则k的取值范围是．

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14. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A C = B C$ ， $A B = 8$ ，半径 $r = 5$ ，则 $D C =$ ．

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15. 下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表：

月户用电量x（千瓦时/户．月）	$x ⩽ 240$	$240 < x ⩽ 300$	$300 < x ⩽ 350$	$350 < x ⩽ 400$	$x > 400$
户数（户）	5	22	27	31	15

从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查，则抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为．

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16. 以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要分钟．

用时种类	准备时间（分钟）	加工时间（分钟）
米饭	3	30
炒菜1	5	6
炒菜2	5	8
汤	5	15

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三、解答题

17. 计算： $| - \sqrt{2} | - {(π - 2021)}^{0} - 2 \sin 45 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x - 1 > 3 (x - 1) \\ \frac{5 - x}{2} < x + 3 \end{array}$

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19. 已知，如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $B D ⊥ A C$ 于D ， E是BC延长线上的一点， $D B = D E$ ．求 $∠ E$ 的度数．

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20. 已知 $x^{2} + 4 x - 1 = 0$ ，求代数式 ${(x + 2)}^{2} - (x + 3) (x - 3) + x^{2}$ 的值．

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21. 已知： $△ A B C$ ，CD平分 $∠ A C B$ ．
求作：菱形DFCE ，使点F在BC边上，点E在AC边上，下面是尺规作图过程．

作法：①分别以C、D为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 为半径作弧，两弧分别交于点M、N；

②作直线MN分别与AC、BC交于点E、F；

③连接DE、DF ， DC与EF的交点记为点G；四边形DFCE为所求作的菱形．

(1)、利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明： $∵ D E = E C ， D F = F C$ ，

$∴ E F$ 为DC的垂直平分线．

$∵ D E = E C$ ，

$∴ ∠ E D C = ∠ E C D$ ．

$∵ C D$ 平分 $∠ A C B$ ，

$∴ ∠ E C D = ∠ D C B$ ．

$∴ ∠ E D C = ∠ D C B$ ，

$∴$ ▲ $/ /$ ▲ （）（填推理依据）

同理可证 $E F / / C E$ ，

$∴$ 四边形DFCE为平行四边形．

又 $∵$ ▲ ，

$∴$ 四边形DFCE为菱形．

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22. 已知：如图，在菱形ABCD中， $B E ⊥ A D$ 于点E ，延长AD至F ，使 $D F = A E$ ，连接CF ．

(1)、求证：四边形EBCF是矩形；

(2)、若 $\sin ∠ A = \frac{3}{5}$ ， $C F = 3$ ，求AF的长．

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，正比例函数 $y = x$ 与反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x_{1}} (k \neq 0 ， x_{1} \neq 0)$ 的图象相交于点 $P (1 ， 1)$

(1)、求k的值；

(2)、过点 $M (0 ， a)$ 平行于x轴的直线，分别与第一象限内的正比例函数 $y = x$ 、反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ 的图象相交于 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ ，当 $\frac{1}{2} ⩽ a ⩽ 2$ 时，求 $x_{1} + x_{2}$ 的取值范围．

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24. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，C是 $⊙ O$ 上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F ， FD上有一点E ， $C E = E F$ ．

(1)、求证：CE是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、如果 $\sin F = \frac{3}{5}$ ， $E F = 1$ ，求AB的长．

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25. 2021年是中国共产党成立100周年，某中学面向学校全体师生征集“礼赞百年”活动作品，作品类别包括征文、书法、绘画．该中学学生小明统计了学校30个教学班上交活动作品的数量（单位：份），相关信息如下：
a ．小明所在中学30个教学班上交作品的数量统计图：

b ．小明所在中学各班学生上交作品数量的平均数如下：

班级

初一年级（10个班）

初二年级（10个班）

初三年级（10个班）

平均数

110

80

40

(1)、该中学各班学生上交作品数量的平均数约为（结果取整数）；

(2)、已知该中学全体教师上交作品的数量恰好是该校各班级中，上交作品数量最多的班级与最少的班级的数量差，则全体教师上交作品的数量为份；

(3)、记该中学初一年级学生上交作品数量的方差为 $s_{1}^{2}$ ，初二年级学生上交作品数量的方差为 $s_{2}^{2}$ ，初三年级学生上交作品数量的方差为 $s_{3}^{2}$ ．直接写出 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ ， $s_{3}^{2}$ 的大小关系．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知关于x的二次函数 $y = x^{2} - 2 t x + 1$

(1)、求该二次函数的对称轴；

(2)、若点 $M (t - 2 ， m) ， N (t + 3 ， n)$ 在抛物线 $y = x^{2} - 2 t x + 1$ 上，试比较m、n的大小；

(3)、 $P (x_{1} ， y_{1}) ， Q (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线 $y = x^{2} - 2 t x + 1$ 上的任意两点，若对于 $- 1 \leq x_{1} < 3$ 且 $x_{2} = 3$ ，都有 $y_{1} \leq y_{2}$ ，求t的取值范围．

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27. 在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转 $a (0 ° < a < 90 °)$ 得到线段AE ， AE与CD延长线相交于点F ，过B作 $B G / / A F$ 交CF于点G ，连接BE．

(1)、如图1，求证： $∠ B G C = 2 ∠ A E B$ ；

(2)、当（ $45 ° < a < 90 °$ ）时，依题意补全图2，用等式表示线段 $A H ， E F ， D G$ 之间的数量关系，并证明．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $⊙ O$ 的半径为1，点A是平面内一点，过点A的直线交 $⊙ O$ 于点 B和点C（ $A B ⩽ A C$ ）， $0 ⩽ B C ⩽ 1$ ，我们把点 B称为点A关于 $⊙ O$ 的“斜射点”．

(1)、如图，在点 $A_{1} (- 1 ， 1) ， A_{2} (0 ， \frac{\sqrt{3}}{2}) ， A_{3} (\frac{1}{2} ， 0)$ 中，存在关于 $⊙ O$ 的“斜射点”的是．

(2)、已知若 $A (0 ， 2)$ ，点关于 $⊙ O$ 的“斜射点”为点B ，则点 B的坐标可以是．（写出两个即可）

(3)、若点A直线 $y = k x + k$ 上，点A关于 $⊙ O$ 的“斜射点”为 $B (- 1 ， 0)$ ，画出示意图，直接写出 k的取值范围．

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班级	初一年级（10个班）	初二年级（10个班）	初三年级（10个班）
平均数	110	80	40