北京市海淀区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-14 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 如图是某几何体的视图，该几何体是（）

A、圆柱 B、球 C、三棱柱 D、长方体

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2. 2021年2月24日6时29分，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功实施第三次近火制动，进入近火点280千米、远火点59000千米、周期2个火星日的火星停泊轨道．将59000用科学记数法表示应为（）

A、 $0.59 \times 10^{5}$ B、 $5.9 \times 10^{5}$ C、 $5.9 \times 10^{4}$ D、 $5.9 \times 10^{3}$

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3. 七巧板是我国的一种传统智力玩具．下列用七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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5. 如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是（　　）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示．则正确的结论是（）

A、 $a < 0$ B、 $a < b$ C、 $b + 5 > 0$ D、 $| a | > | b |$

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7. 已知 $x = 1$ 是不等式 $2 x - b < 0$ 的解，b的值可以是（）

A、4 B、2 C、0 D、 $- 2$

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8. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 直径，点C、D将 $\overset{⌢}{A B}$ 分成相等的三段弧，点P在 $\overset{⌢}{A C}$ 上．已知点Q在 $\overset{⌢}{A B}$ 上且 $∠ A P Q = 115 °$ ，则点Q所在的弧是（）

A、 $\overset{⌢}{A P}$ B、 $\overset{⌢}{P C}$ C、 $\overset{⌢}{C D}$ D、 $\overset{⌢}{D B}$

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二、填空题

9. 若代数式 $\sqrt{x - 1}$ 有意义，则实数x 的取值范围是.

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10. 方程组 ${\begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} x + y = 3 \\ 2 x - y = 6 \end{matrix}$ 的解为.

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11. 如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中 $∠ 1$ 是 $70 °$ ，那么 $∠ 2$ 的度数是．

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12. 若 $\sqrt{2} + a$ 的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值．

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13. 计算： $(\frac{x^{2}}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}) \cdot \frac{1}{x + 1} =$ ．

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14. 已知关于x的方程 $x^{2} - (m + 2) x + 4 = 0$ 有两个相等的实数根，则m的值是．

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15. 图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为 $S_{1} ， S_{2}$ ，则 $S_{1} - S_{2}$ 的值为．

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16. 图1是一个

2 \times 2

正方形网格，两条网格线的交点叫做格点．甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：

游戏规则

a ．两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点；

b ．新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其他公共点；

c ．已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上；

d ．当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜．

如图2，甲先画出线段 $A B$ ，乙随后画出线段 $B C$ ．若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是．（填“甲”，“乙”或“不确定”）．

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17. 牛年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过1.6亿，总票房超过80亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．

a ．两部影片上映第一周单日票房统计图．

b ．两部影片分时段累计票房如下

上映影片	2月12日-18日累计票房（亿元）	2月19-21日累计票房（亿元）
甲	31.56
乙	37.22	2.95

（以上数据来源于中国电影数据信息网）

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、2月12日-18日的一周时间内，影片乙单日票房的中位数为；

(2)、对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是；

①甲的单日票房逐日增加；

②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；

③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大．

(3)、截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日-21日三天内影片甲的累计票房应超过亿元．

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三、解答题

18. 计算： $| - \sqrt{2} | - 2 \cos 45 ° + {(π - 1)}^{0} + \sqrt{12}$ ．

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19. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 4 (x + 1) \geq x + 7, \\ \frac{3 x + 2}{4} > x . \end{array}$

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20. 如图，点B ， E ， C ， F在一条直线上， $A B / / D E ， A B = D E ， B E = C F$ ．求证： $∠ A = ∠ D$ ．

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21. 已知 $a^{2} + a - 1 = 0$ ，求代数式 $(a + 2) (a - 2) + a (a + 2)$ 的值．

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22. 如图，四边形 $A B C D$ 是矩形，点E是边 $B C$ 上一点， $A E ⊥ E D$ ．

(1)、求证： $△ A B E ∽ △ E C D$ ；

(2)、F为 $A E$ 延长线上一点，满足 $E F = E A$ ，连接 $D F$ 交 $B C$ 于点G ．若 $A B = 2 ， B E = 1$ ，求 $G C$ 的长．

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23. 我国是世界上最旱发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为主，立木为表，测日影，正地中，意四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．


在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长 $2m$ 的杆 $A B$ ，向正北方向画一条射线 $B C$ ，在 $B C$ 上取点D ，测得 $B D = 1.5 m ， A D = 2.5 m$ ．

(1)、判断：这个模型中 $A B$ 与 $B C$ 是否垂直．答：（填“是”或“否”）；你的理由是：．

(2)、某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角 $α$ 的值，如下表：

节气

夏至

秋分

冬至

太阳光线与地面夹角 $α$

$74 °$

$50 °$

$27 °$

①记夏至和冬至时表影分别为 $B M$ 和 $B N$ ，利用上表数据，在射线 $B C$ 上标出点M和点N的位置；

②记秋分时的表影为 $B P$ ，推测点P位于（    ）

A ．线段 $M N$ 中点左侧      B ．线段 $M N$ 中点处      C ．线段 $M N$ 中点右侧

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24. 已知直线 $l ： y = k x (k \neq 0)$ 过点 $A (- 1 ， 2)$ ．点P为直线l上一点，其横坐标为m ．过点P作y轴的垂线，与函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象交于点Q ．

(1)、求k的值；

(2)、①求点Q的坐标（用含m的式子表示）；
②若 $△ P O Q$ 的面积大于3，直接写出点P的横坐标m的取值范围．

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25. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，C为 $⊙ O$ 上一点，过点C作 $A B$ 的垂线与 $A B$ 的延长线交于点D ，连接 $B O$ 并延长，与 $⊙ O$ 交于点E ，连接 $E C$ ， $∠ A B E = 2 ∠ E$ ．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $\tan E = \frac{1}{3} ， B D = 1$ ，求弦 $A B$ 的长．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + a - 2 (a > 0)$ ．分别过点 $M (t ， 0)$ 和点 $N (t + 2 ， 0)$ 作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B．记抛物线在A ， B之间的部分为图象G（包括A ， B两点）．

(1)、求抛物线的顶点坐标；

(2)、记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m ．
①当 $a = 2$ 时，若图形G为轴对称图形，求m的值；

②若存在实数t ，使得 $m = 2$ ，直接写出a的取值范围．

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27. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 40 °$ ，作射线 $C M$ ， $∠ A C M = 80 °$ ．D在射线 $C M$ 上，连接 $A D$ ，E是 $A D$ 的中点，C关于点E的对称点为F ，连接 $D F$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、判断 $A B$ 与 $D F$ 的数量关系并证明；

(3)、平面内一点G ，使得 $D G = D C ， F G = F B$ ，求 $∠ C D G$ 的值．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于点A和线段 $M N$ ，如果点A ， O ， M ， N按逆时针方向排列构成菱形 $A O M N$ ，且 $∠ A O M = α$ ，则称线段 $M N$ 是点A的“ $α -$ 相关线段”．例如，图1中线段 $M N$ 是点A的“ $30 °$ -相关线段”．

(1)、已知点A的坐标是 $(0 ， 2)$ ．
①在图2中画出点A的“ $30 °$ -相关线段” $M N$ ，并直接写出点M和点N的坐标；

②若点A的“ $α$ -相关线段”经过点 $(\sqrt{3} ， 1)$ ，求 $α$ 的值；

(2)、若存在 $α ， β (α \neq β)$ 使得点P的“ $α$ -相关线段”和“ $β$ -相关线段”都经过点 $(0 ， 4)$ ，记 $P O = t$ ，直接写出t的取值范围．

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节气	夏至	秋分	冬至
太阳光线与地面夹角 $α$	$74 °$	$50 °$	$27 °$