上海市杨浦区2021年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2021-05-14 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数中无理数是（　　）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{22}{7}$ C、 $\sqrt{4}$ D、 $\sqrt[3]{27}$

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2. 下列说法不一定成立的是（）

A、若a>b，则a+c>b+c B、若a+c>b+c，则a>b C、若a>b，则ac²>bc² D、若ac²>bc² ，则a>b

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3. 下列方程中，有实数根的方程是（　　）

A、x⁴+1＝0 B、 $\sqrt{x + 2}$ ＝﹣1 C、 $\sqrt{x + 2}$ ＝﹣x D、 $\frac{x}{x^{2} - 1} = \frac{1}{x^{2} - 1}$

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4. 已知A（x₁ ， y₁）和点B（x₂ ， y₂）是双曲线 $y = \frac{2}{x}$ 上的两个点，如果x₁＜x₂ ，那么y₁和y₂的大小关系正确的是（　　）

A、y₁＞y₂ B、y₁＜y₂ C、y₁＝y₂ D、无法判断

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5. 为了了解某校九年级400名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行分析.在这项调查中，样本是指（）

A、400名学生 B、被抽取的50名学生 C、400名学生的体重 D、被抽取的50名学生的体重

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6. 下列命题中，真命题是（　　）

A、平分弦的直径垂直于弦 B、垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧 C、在同圆中，相等的弦所对的弧也相等 D、经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

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二、填空题

7. 计算：a³•a^﹣1＝．

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8. 分解因式：x²﹣4x= ．

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9. 在函数y = $\frac{x}{2 x + 3}$ 中，自变量x的取值范围是．

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10. 不等式组 ${\begin{matrix} 3 x - 15 \leq 0 \\ \frac{3 - x}{2} > 1 \end{matrix}$ 的解集是．

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11. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + m - 1 = 0$ 有两个相等的实数根，那么m的值为．

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12. 一个射箭运动员连续射靶5次，所得环数分别是：8，6，10，7，9，则这个运动员所得环数的标准差为．

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13. 在一个布袋中，装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个球颜色相同的概率是．

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14. 已知点G是 $Δ A B C$ 的重心，如果 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A C} = \vec{b}$ ，那么向量 $\vec{A G}$ 用向量 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 表示为．

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15. 已知一个正六边形的边心距为 $\sqrt{3}$ ，则它的半径为．

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16. 如图，已知在正方形网格中，点A、B、C、D在小正方形的顶点上，线段AB与线段CD相交于点O ，那么tan∠AOC＝．

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17. 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，那么我们把这条直线叫做这个平面图形的面积等分线．已知在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2，过点E的面积等分线与菱形的另一条边交于点F ，那么线段EF的长为．

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18. 如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D是边BC的中点，点E是边AB上一点，将△BDE沿直线DE翻折，点B落在B'处，联结AB'，如果∠AB'D＝90°，那么线段AE的长为．

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三、解答题

19. 计算：+ $\sqrt{8} - \frac{1}{\sqrt{3} - 2} - {(\frac{1}{3})}^{- 1} \div \sqrt{3} + {(1 - \sqrt{2})}^{2}$ ．

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20. 解方程： $\frac{4 x}{x^{2} - 9} = 1 + \frac{2}{x - 3} - \frac{2}{x + 3}$ ．

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21. 如图，已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ （x＞0）的图象经过点A（a ， 3），点B为x轴正半轴上一点，过点B作BD⊥x轴，交反比例函数的图象于点C ，交正比例函数的图象于点D ．

(1)、求a、k的值；

(2)、联结AC ，如果BD＝6，求△ACD的面积．

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22. 如图1是一种手机平板支架，由底座、支撑板和托板构成，手机放置在托板上，如图2是其侧面示意图，量得底座长AB＝11cm，支撑板长BC＝8cm，托板长CD＝6cm，托板CD固定在支撑板顶端点C处，托板CD可绕点C旋转，支撑板BC可绕点B转动．

（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， $\sqrt{3}$ ≈1.73）

(1)、如果∠ABC＝60°，∠BCD＝70°，求点D到直线AB的距离（精确到0.1cm）；

(2)、在第（1）小题的条件下，如果把线段CD绕点C顺时针旋转20°后，再将线段BC绕点B逆时针旋转，使点D落在直线AB上，求线段BC旋转的角度．

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23. 已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），过点A作AD $//$ OC交半圆于点D ， E是直径AB上一点，且AE＝AD ，联结CE、CD ．

(1)、求证：CE＝CD；

(2)、如果 $\overset{⌢}{A D} = 3 \overset{⌢}{C D}$ ，延长EC与弦AD的延长线交于点F ，联结OD ，求证：四边形OCFD是菱形．

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24. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A ，与y轴相交于点B ，抛物线y＝ax²+6x+c经过A、B两点．

(1)、求这条抛物线的表达式；

(2)、设抛物线与x轴的另一个交点为C ，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，当四边形BCPQ是平行四边形时，求点Q的坐标；

(3)、在第（2）小题的条件下，联结QC ，在∠QCB内作射线CD与抛物线的对称轴相交于点D ，使得∠QCD＝∠ABC ，求线段DQ的长．

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25. 如图，已知Q是∠BAC的边AC上一点，AQ＝15，cot∠BAC＝ $\frac{3}{4}$ ，点P是射线AB上一点，联结PQ ， ⊙O经过点A且与QP相切于点P ，与边AC相交于另一点D ．

(1)、当圆心O在射线AB上时，求⊙O的半径；

(2)、当圆心O到直线AB的距离为 $\frac{3}{4}$ 时，求线段AP的长；

(3)、试讨论以线段PQ长为半径的⊙P与⊙O的位置关系，并写出相应的线段AP取值范围．

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