上海市普陀区2021年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2021-05-14 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列计算中，正确的是（　　）

A、2a²+3a＝5a³ B、2a²•3a＝5a³ C、2a²÷3a＝ $\frac{2}{3}$ a D、（2a²）³＝8a⁵

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2. 下列单项式中，可以与x²y³合并同类项的是（　　）

A、x³y² B、 $\frac{y^{3} x^{2}}{2}$ C、3x²y D、2x²y³z

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3. 方程 $\sqrt{x + 2}$ ＝x的根是（　　）

A、x＝﹣2 B、x＝﹣1 C、x＝0 D、x＝2

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4. 已知两组数据：x₁、x₂、x₃、x₄、x₅和x₁+2、x₂+2、x₃+2、x₄+2、x₅+2，下列有关这两组数据的说法中，正确的是（　　）

A、平均数相等 B、中位数相等 C、众数相等 D、方差相等

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5. 已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，下列条件中，不一定能得到△ABC≌△A′B′C′的是（　　）

A、BC＝B'C' B、∠A＝∠A′ C、∠C＝∠C′ D、∠B＝∠B′＝90°

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6. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B均在y轴上，点C在x轴上，将△ABC绕着顶点B旋转后，点C的对应点C′落在y轴上，点A的对应点A′落在反比例函数y＝ $\frac{6}{x}$ 在第一象限的图象上．如果点B、C的坐标分别是（0，﹣4）、（﹣2，0），那么点A′的坐标是（　　）

A、（3，2） B、（ $\frac{3}{2}$ ，4） C、（2，3） D、（4， $\frac{3}{2}$ ）

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二、填空题

7. 因式分解： $a^{3} - 4 a =$ ．

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8. 已知f（x）＝ $\frac{2}{x - 1}$ ，则 $f (\sqrt{3})$ ＝．

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9. 不等式组 ${\begin{matrix} - 2 x < 4 \\ x - 3 < 1 \end{matrix}$ 的解集是．

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10. 已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的函数值y随x的值增大而减小，那么k的取值范围是．

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11. 如果关于x的方程x²﹣x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，那么m的值等于．

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12. 抛物线y＝ax²+ax+2（a≠0）的对称轴是直线．

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13. 为了唤起公众的节水意识，从1993年起，联合国将每年的3月22日定为“世界水日”．某居委会表彰了社区内100户节约用水的家庭，5月份这100户家庭节约用水的情况如表所示，那么5月份这100户家庭节水量的平均数是吨．

每户节水量（单位：吨）

5

6

7.2

节水户户数

62

28

10

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14. 小明已有两根长度分别是2cm和5cm的细竹签，盒子里有四根长度分别是3cm、4cm、7cm、8cm的细竹签，小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率等于．

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15. 如图，两条平行线l₁、l₂分别经过正五边形ABCDE的顶点B、C ．如果∠1＝20°，那么∠2＝．

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16. 如图，已知△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，EF＝DE ，设 $\vec{B C} = \vec{a} ， \vec{A F} = \vec{b}$ ，那么向量 $\vec{A C}$ 用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示是．

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17. 已知等腰三角形ABC中，AB＝AC ， BC＝6，以A为圆心2为半径长作⊙A ，以B为圆心BC为半径作⊙B ，如果⊙A与⊙B内切，那么△ABC的面积等于．

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18. 如图，正方形ABCD中，AB=4，E为边BC的中点，点F在AE上，过点F作MN⊥AE ，分别交边AB、DC于点M、N ，联结FC ，如果△FNC是以CN为底边的等腰三角形，那么FC= ．

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三、解答题

19. 计算： $- 1^{2020} + {(\frac{1}{3})}^{- \frac{1}{2}} - | \sqrt{3} - 2 | + \sqrt{27}$ ．

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20. 解方程： $\frac{2 x}{x + 3} - \frac{24}{x^{2} + 2 x - 3}$ ＝1．

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21. 在平面直角坐标系xOy中（如图），已知直线y＝﹣ $\frac{1}{2}$ x+2分别与x轴、y轴交于点A、B ，一个正比例函数的图象与这直线交于点C ，点C的横坐标是1．

(1)、求正比例函数的解析式；

(2)、将正比例函数的图象向上或向下平移，交直线y＝﹣ $\frac{1}{2}$ x+2于点D ，设平移后函数图象的截距为b ，如果交点D始终落在线段AB上，求b的取值范围．

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22. 如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且与转轴底端O之间的距离为20cm，窗钩的另一个端点B可在窗框边上的滑槽OF上移动，滑槽OF的长度为17cm，AB、BO、AO构成一个三角形．当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时（如图2），窗户打开的角∠AOB的度数为37°．

(1)、求钩AB的长度（精确到1cm）；

(2)、现需要将窗户打开的角∠AOB的度数调整到45°时，求此时窗钩端点B与点O之间的距离（精确到1cm）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75， $\sqrt{2}$ ≈1.4）

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23. 已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC、边BC的延长线上，四边形AEFD是菱形，菱形的对角线AF分别交DE、DC于点P、Q ， $\frac{A F}{B F} = \frac{E F}{P F}$ ．
求证：

(1)、四边形ABCD为矩形；

(2)、BE•DQ＝FQ•PE ．

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24. 在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ $\frac{1}{2}$ x²+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C ，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点E ．

(1)、求b、c的值和直线BC的表达式；

(2)、设∠CAD＝45°，求点E的坐标；

(3)、设点D的横坐标为d ，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．

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25. 在梯形ABCD中，AD∥BC ， AB⊥BC ， AD＝3，CD＝5，cosC＝ $\frac{3}{5}$ （如图）．M是边BC上一个动点（不与点B、C重合），以点M为圆心，CM为半径作圆，⊙M与射线CD、射线MA分别相交于点E、F ．

(1)、设CE＝ $\frac{18}{5}$ ，求证：四边形AMCD是平行四边形；

(2)、联结EM ，设∠FMB＝∠EMC ，求CE的长；

(3)、以点D为圆心，DA为半径作圆，⊙D与⊙M的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时⊙M的半径长．

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每户节水量（单位：吨）	5	6	7.2
节水户户数	62	28	10