湘教版备考2021年中考数学三轮复习专题6反比例函数

试卷更新日期：2021-05-14 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 如图，点A是反比例图数y＝ $\frac{m}{x}$ （x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝ $\frac{n}{x}$ （x＜0）图象交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为3，则m+n＝（　　）

A、﹣4 B、﹣6 C、﹣8 D、﹣12

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2. 如图，平行于x轴的直线与函数y＝ $\frac{k_{1}}{x}$ （k₁＞0，x＞0），y＝ $\frac{k_{2}}{x}$ （k₂＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为6，则k₁﹣k₂的值为（　　）

A、12 B、﹣12 C、6 D、﹣6

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3. 在平面直角坐标系xOy中，过点A（1，6）的直线与反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象的另一个交点为B，与x轴交于点P，若AP＝2PB，则点P的坐标是（）

A、（1，0） B、（3，0） C、（﹣1，0） D、（3，0）或（﹣1，0）

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4. 如图所示，在直角平面坐标系Oxy中，点A、B、C为反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC ，过点A作AD⊥y轴于点D ，过点B、C分别作BE ， CF垂直x轴于点E、F ， OC与BE相交于点M ，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S₁、S₂、S₃ ，则（　　）

A、S₁＝S₂+S₃ B、S₁＞S₂＝S₃ C、S₃＞S₂＞S₁ D、S₁S₂＜S₃²

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5. 如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（　　）

A、1＜k＜9 B、2≤k≤34 C、1≤k≤16 D、4≤k＜16

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6. 已知某函数的图象C与函数y= $\frac{3}{x}$ 的图象关于直线y=2对称下列命题：①图象C与函数y= $\frac{3}{x}$ 的象交于点（ $\frac{3}{2}$ ，2）；②（ $\frac{1}{2}$ ，-2）在图象C上；③图象C上的点的纵坐标都小于4；④A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）是图象C上任意两点，若x₁>x₂ ，则y₁-y₂ ，其中真命题是（）

A、①② B、①③④ C、②③④ D、①②③④

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7. 如图，已知A ， B是反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C ，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C ，过P作PM⊥x轴，垂足为M ．设三角形OMP的面积为S ， P点运动时间为t ，则S关于t的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图所示双曲线y＝ $\frac{k}{x}$ 与y＝﹣ $\frac{3}{x}$ 分别位于第三象限和第二象限，A是y轴上任意一点，B是y＝﹣ $\frac{3}{x}$ 上的点，C是y＝ $\frac{k}{x}$ 上的点，线段BC⊥x轴于D，且4BD＝3CD，则下列说法：①双曲线y＝ $\frac{k}{x}$ 在每个象限内，y随x的增大而减小；②若点B的横坐标为﹣3，则C点的坐标为（﹣3， $\frac{4}{3}$ ）；③k＝4；④△ABC的面积为定值7，正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 如图，平行于x轴的直线与函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ （k₁＞0，x＞0），y= $\frac{k_{2}}{x}$ （k₂＞0，x＞0）的图像分别交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点．若△ABC的面积为4，则k₁-k₂的值为（）

A、8 B、-8 C、4 D、-4

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10. 反比例函数y= $\frac{1}{x}$ 的图象向右平移 $\sqrt{2015}$ 个单位长度得到一个新的函数，当自变量x取1，2，3，4，5，…，（正整数）时，新的函数值分别为y₁ ， y₂ ， y₃ ， y₄ ， y₅ ， …，其中最小值和最大值分别为（）

A、y₁ ， y₂ B、y₄₃ ， y₄₄ C、y₄₄ ， y₄₅ D、y₂₀₁₄ ， y₂₀₁₅

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11. 如图，已知点 A 、B分别在反比例函数 $y = \frac{1}{x} （ x > 0 ）， y = - \frac{4}{x} （ x > 0 ）$ 的图象上，且OA ⊥OB ，则 $\frac{O B}{O A}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、4

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12. 教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（）

A、7：20 B、7：30 C、7：45 D、7：50

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二、填空题

13. 如图，把一块含30°角的三角板的直角顶点放在反比例函数y=- $\frac{\sqrt{3}}{x}$ （x＜0）的图象上的点C处，另两个顶点分别落在原点O和x轴的负半轴上的点A处，且∠CAO=30°，则AC边与该函数图象的另一交点D的坐标为．

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14. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (1 ， 1)$ ， $B (2 ， 2)$ ，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 与线段 $A B$ 无公共点，则 $k$ 的取值范围是．

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15. 如图，一次函数 $y = k x + 3$ 分别与x，y轴交于点N，M，与反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ （x＞0）的图象交于点A，若点M把AN分成2：3两部分时，则 $k =$ .

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16. 如图，曲线 $C_{2}$ 是双曲线 $C_{1} ： y = \frac{3 \sqrt{3}}{x} (x > 0)$ 绕原点O逆时针旋转 $60^{°}$ 得到的图形，P是双曲线 $C_{2}$ 上任意一点，点A在直线 $l ： y = \sqrt{3} x$ 上，且 $P A = P O$ ，则 $Δ P O A$ 的面积等于

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17. 如图，已知点A，C在反比例函数 $y = \frac{a}{x} (a > 0)$ 的图象上，点B，D在反比例函 $y = \frac{b}{x} (b < 0)$ 的图象上，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=5，CD=4，AB与CD的距离为6，则a−b的值是.

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18. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线 $y = \frac{1}{2} x - 1$ 分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ ， $y_{2} = \frac{2 k}{x} (x < 0)$ 的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连结OC，OD. 若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是.

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19. 直角坐标系中△OAB ， △BCD均为等腰直角三角形，OA＝AB ， BD＝CD ，点A在x轴的正半轴上，点D在AB上，△OAB与△BCD的面积之差为3，反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象经过点C ，则k的值为．

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20. 如图，点P₁（x₁ ， y₁），点P₂（x₂ ， y₂），…，点P_n（x_n ， y_n）在函数y= $\frac{1}{x}$ （x＞0）的图象上，△P₁OA，△P₂A₁A₂ ， △P₃A₂A₃ ， …，△P_nA_n_﹣1A_n都是等腰直角三角形，斜边OA₁ ， A₁A₂ ， A₂A₃ ， …，A_n_﹣1A_n都在x轴上（n是大于或等于2的正整数）．若△P₁OA₁的内接正方形B₁C₁D₁E₁的周长记为l₁ ， △P₂A₁A₂的内接正方形的周长记为l₂ ， …，△P_nA_n_﹣1A_n的内接正方形B_nC_nD_nE_n的周长记为l_n ，则l₁+l₂+l₃+…+l_n=（用含n的式子表示）．

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21. 如图，点 $A ， B$ 为直线 $y = x$ 上的两点，过 $A ， B$ 两点分别作y轴的平行线交双曲线 $y = \frac{1}{x}$ （ $x > 0$ ）于 $C ， D$ 两点. 若 $B D = 2 A C$ ，则 $4 O C^{2} - O D^{2}$ 的值为.

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三、解答题

22. 如图，点A为函数 $y = \frac{18}{x} (x > 0)$ 图象上一点，连结OA，交函数 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，求△ABC的面积．

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23. 如图，直线AB交双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 于A，B两点，交x轴于点C，且BC= $\frac{1}{2}$ AB，过点B作BM⊥x轴于点M，连结OA，若OM=3MC，S_△_OAC=8，则k的值为多少？

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24. 已知反比例函数y= $\frac{k - 1}{x}$ （k为常数，k≠1）．

（Ⅰ）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；
（Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
（Ⅲ）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x₁ ， y₁）、B（x₂ ， y₂），当y₁＞y₂时，试比较x₁与x₂的大小．

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25.
已知实数a ， b满足a-b=1，a²-ab+2＞0，当1≤x≤2时，函数y= （a≠0）的最大值与最小值之差是1，求a的值

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26. 如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y= $\frac{m}{x}$ （x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．

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四、作图题

27. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与正比例函数 $y = 2 x$ 的图象交于点 $(2 ， m)$ ，求这个反比例函数的表达式，并在同一平面直角坐标系内，画出这两个函数的图象．

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28. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们能通过描点或平移的方法画出函数图象.结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题；
在函数 $y = k x + 2 | x - 1 |$ 中，当 $x = 2$ 时， $y = 4$ .

(1)、求这个函数的表达式；

(2)、在给出的平面直角坐标系中，用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；

(3)、已知函数 $y = - \frac{3}{x}$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $k x + 2 | x - 1 | \geq - \frac{3}{x}$ 的解集.

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29. 在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式——画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用图像解决问题”的学习过程.我们可以借鉴这种方法探究函数

y = \frac{4}{x - 1}

的图像性质.

(1)、补充表格，并画出函数的图象

①列表：

x	…	-3	-1	0	2	3	5	…
y	…	-1	-2	-4	4		1	…

②描点并连线，画图.

(2)、观察图像，写出该函数图象的一个增减性特征：；

(3)、函数

y = \frac{4}{x - 1}

的图像是由函数

y = \frac{4}{x}

的图像如何平移得到的？，其对称中心的坐标为；

(4)、根据上述经验，猜一猜函数

y = \frac{4}{x - 1} + 2

的图像大致位置，结合图像直接写出y≥3时，x的取值范围.

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30. 模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具.对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：

(1)、建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得 $x y =4$ ，即 $y = \frac{4}{x}$ ；由周长为m，得 $2(x + y)= m$ ，即 $y = - x + \frac{m}{2}$ .满足要求的 $(x ， y)$ 应是两个函数图象在第象限内交点的坐标.

(2)、画出函数图象
函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象如图所示，而函数 $y = - x + \frac{m}{2}$ 的图象可由直线 $y = - x$ 平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线 $y = - x$ .

(3)、平移直线 $y = - x$ ，观察函数图象
①当直线平移到与函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象有唯一交点 $(2，2)$ 时，求周长m的值；

②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围.

(4)、得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为.

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31. 参照学习函数的过程方法，探究函数

y = \frac{x - 2}{x} (x \neq 0)

的图像与性质，因为

y = \frac{x - 2}{x} = 1 - \frac{2}{x}

，即

y = - \frac{2}{x} + 1

，所以我们对比函数

y = - \frac{2}{x}

来探究列表：

$x$	…	-4	-3	-2	-1	$- \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	…
$y = - \frac{2}{x}$	…	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	1	2	4	-4	-2	-1	$- \frac{2}{3}$	$- \frac{1}{2}$	…
$y = \frac{x - 2}{x}$	…	$\frac{3}{2}$	$\frac{5}{3}$	2	3	5	-3	-2	0	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	…

描点：在平面直角坐标系中以自变量 $x$ 的取值为横坐标，以 $y = \frac{x - 2}{x}$ 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示：

(1)、请把

y

轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；

(2)、观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而；（“增大”或“减小”）

② $y = \frac{x - 2}{x}$ 的图象是由 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象向平移个单位而得到的；

③图象关于点中心对称.（填点的坐标）

(3)、函数

y = \frac{x - 2}{x}

与直线

y = - 2 x + 1

交于点A，B，求

Δ A O B

的面积.

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32. 如图，点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第二象限内的分支上， $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ， $O$ 是原点，且 $△ A O B$ 的面积为 $1$ ．试解答下列问题：

(1)、比例系数 $k =$ ；

(2)、在给定直角坐标系中，画出这个函数图象的另一个分支；

(3)、当 $x > 1$ 时，写出 $y$ 的取值范围．

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五、综合题

33. 如图，已知函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象与一次函数 $y = m x + 5 (m < 0)$ 的图象相交不同的点A、B，过点A作AD⊥ $x$ 轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为 $x_{0}$ ，△AOD的面积为2.

(1)、求 $k$ 的值及 $x_{0}$ =4时 $m$ 的值；

(2)、记 $[x]$ 表示为不超过 $x$ 的最大整数，例如： $[1 .4] ＝ 1$ ， $[2] ＝ 2$ ，设 $t = O D . D C$ ，若 $- \frac{3}{2} < m < - \frac{5}{4}$ ，求 $[m^{2} \cdot t]$ 值

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34.
如图，点A（m，6）、B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．

(1)、求m、n的值并写出该反比例函数的解析式．

(2)、点E在线段CD上，S_△ABE=10，求点E的坐标．

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35.
如图，在矩形 OABC中，OA=3，OC=5，分别以 OA、OC所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．

(1)、连接OE，若△EOA的面积为2，则k=

(2)、连接CA，DE与CA是否平行？请说明理由：

(3)、是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由：

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36.
如图，已知反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4）．

(1)、试确定这两个函数的表达式：

(2)、求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并求△A0B的面积：

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37.
如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 的图象相交于A（2，1），B两点．

(1)、求出反比例函数与一次函数的表达式

(2)、请直接写出B点的坐标，并指出使反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围

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38.
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= $\frac{π}{x}$ 的图象交于A（2，3）、B（﹣3，n）两点。

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式

(2)、若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出OP的长。

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