重庆市2021届高三下学期数学二模试卷

试卷更新日期：2021-05-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x ⩽ 2}$ ， $B = {x | - 1 < x ⩽ 1}$ ，则（）

A、 $A \cap B = A$ B、 $B \subseteq$ $(∁_{R} A)$ C、 $A \cap (∁_{R} B) = \emptyset$ D、 $A \cup (∁_{R} B) = R$

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2. 复数z满足 $z (2 - i) = | 3 + 4 i |$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $10 + 5 i$ D、 $10 - 5 i$

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3. 已知命题 $p : \exists x > 0$ ， $- x^{2} + x > 0$ ，则命题P的否定为（）

A、 $\exists x ⩽ 0, - x^{2} + x > 0$ B、 $\exists x ⩽ 0, - x^{2} + x ⩽ 0$ C、 $\forall x > 0, - x^{2} + x > 0$ D、 $\forall x > 0, - x^{2} + x ⩽ 0$

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4. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{4} = a_{6}$ ， $a_{9} = a_{6}^{2}$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、5 C、10 D、40

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (4 - a) x - a ， & x < 1 ， \\ \log_{a} x ， & x ⩾ 1. \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2]$ C、 $[2 ， 4)$ D、 $(1 ， 4)$

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6. 已知一组数据1，2，a ， b ， 5，8的平均数和中位数均为4，其中 $a, b \in N^{*}$ ，在去掉其中的一个最大数后，该组数据的（）

A、平均数不变 B、中位数不变 C、众数不变 D、标准差不变

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7. 已知实数a ， b ， c成等差数列，则点 $P (2, - 1)$ 到直线 $a x + b y + c = 0$ 的最大距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为F ，直线 $y = k x$ 与双曲线C交于A ， B两点（其中点A位于第一象限）， $∠ A F B = 90 °$ ，且 $△ F A B$ 的面积为 $\frac{3}{2} a^{2}$ ，则直线 $A F$ 的斜率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{12})$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{24}$ 对称 C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递增

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10. 函数 $f (x) = e^{k x} \cdot \ln x$ （k为常数）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知 $△ P A B$ 中， $A B = 2$ ， $P A = P B$ ，C是边 $A B$ 的中点，Q为 $△ P A B$ 所在平面内一点，若 $△ C P Q$ 是边长为2的等边三角形，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B Q}$ 的值可能是（）

A、 $3 + \sqrt{3}$ B、 $1 + \sqrt{3}$ C、 $3 - \sqrt{3}$ D、 $1 - \sqrt{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{4} + a x^{2} + a x + 1 (a \neq 0)$ ，则（）

A、存在a使得 $f (x)$ 恰有三个单调区间 B、 $f (x)$ 有最小值 C、存在a使得 $f (x)$ 有小于0的极值点 D、当 $x_{1} < 0 < x_{2}$ 且 $x_{1} + x_{2} > 0$ 时， $f (x_{1}) < f (x_{2})$

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三、填空题

13. 若平面向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值为．

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14. 已知某信号传送网络由信号源甲和三个基站乙、丙、丁共同构成，每次信号源甲等可能地向三个基站中的一个发送信号，乙基站接收到的每条信号等可能地传送给丙基站和丁基站中的一个，丙基站接收到的每条信号只会传送给丁基站，丁基站只接收信号．对于信号源甲发出的一条信号，丙基站能接收到的概率为．

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15. 已知多项式 $(1 + x) + {(1 + x)}^{2} + \dots + {(1 + x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，若 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 57$ ，则正整数n的值为．

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16. 已知球O的半径为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ ，以球心O为中心的正四面体 $Γ$ 的各条棱均在球O的外部，若球O的球面被 $Γ$ 的四个面截得的曲线的长度之和为 $8 π$ ，则正四面体 $Γ$ 的体积为．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C对应的边分别为a ， b ， c ，若 $A \neq \frac{π}{2}$ ，且__________．

(1)、求a的值；

(2)、若 $A = \frac{2 π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值．
从① $3 a \cos B + 3 b \cos A = a c$ ；② $3 a \cos B + a b \cos A = 3 c$ ；③ $b \cos C + c \cos B = 3$ 这三个条件中选一个补充在上面问题中并作答．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且6， $2 S_{n}$ ， $a_{n}$ 成等差数列．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、是否存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots + a_{n} a_{n + 1} > 6 a_{m}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 成立？若存在，求m的所有取值；否则，请说明理由．

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19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C = B B_{1}$ ， $B C_{1} \cap B_{1} C = O$ ， $A O ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ .

(1)、求证： $A B ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、若 $∠ B_{1} B C = 60 °$ ，直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成的角为 $30 °$ ，求二面角 $A_{1} - B_{1} C_{1} - A$ 的余弦值.

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20. 到2020年年底，经过全党全国各族人民共同努力，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务．在接下来的5年过渡期，为巩固脱贫成果，将继续实行“四个不摘”，某市工作小组在2021年继续为已脱贫群众的生产生活进行帮扶，工作小组经过多方考察，引进了一种新的经济农作物，并指导一批农户于2021年初开始种植．已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，由于天气、市场经济等因素的影响，近几年该经济农作物的亩产量与每千克售价具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

该经济农作物市场价格（元 $/ kg$ ）	10	15	该经济农作物每年亩产量 $(kg)$	400	600
概率	0.4	0.6	概率	0.25	0.75

(1)、设2021年当地某农户种植一亩该经济农作物的纯收入为X元，求X的分布列；

(2)、已知当地某农户在2021年初种植了3亩该经济农作物，假设各亩地的产量相互独立，求该农户在2021年通过种植该经济农作物所获得的纯收入超过12000元的概率．

（注：纯收入=种植收入-种植成本）

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点F恰为抛物线 $E : y^{2} = 4 x$ 的焦点， $P (x_{0}, \frac{2 \sqrt{6}}{3})$ 是椭圆C与抛物线E的一个公共点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点F且不与x轴平行的直线l交椭圆C于A、B两点，线段 $A B$ 的中垂线分别交x、y轴于M、N两点，求 $\frac{| A B |}{| M N |}$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x + 1} + a x^{2} + 2 a x (a \in R)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(- 1 ， + \infty)$ 上单调递增，求a的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且 $x_{2} - x_{1} > \ln 2$ ，求a的取值范围．

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