云南省昆明市2021届高三上学期理数”三诊一模“摸底诊断测试试卷

试卷更新日期：2021-05-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 如图，复数 $z = \frac{1 + 2 i}{i}$ 在复平面内对应的点为（）

A、E B、F C、G D、H

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2. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 1}$ ，集合 $B = {x | x^{2} \leq 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 2, 2]$ B、 $[- 1, 1]$ C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 ${- 1, 1}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $| \vec{b} | = 4$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2 \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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4. ${a_{n}}$ 为等比数列，若 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{5}$ 成等差数列，则 $\frac{a_{3} + a_{5}}{a_{1} + a_{3}} =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、8

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5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某个零件的三视图，则这个零件的体积等于（）

A、6π B、8π C、12π D、14π

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6. 双曲线 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的顶点到渐近线的距离为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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7. 下边程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前300年左右提出的"辗转相除法"，其中 $[x]$ 表示不超过x的最大整数.执行该程序框图，若输入的a ， b分别为196和42，则输出的b的值为（）.

A、2 B、7 C、14 D、28

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8. 若函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{4})$ ( $ω > 0$ )的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，所得图象关于原点对称，则 $ω$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{9}{4}$

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9. 在计算机的算法分析中，常用时间复杂度来衡量一个算法的优劣，算法的时间复杂度是指算法完成一次运行所需要的运算次数，若用 $T (n)$ (单位∶次)表示算法的时间复杂度，它是算法求解问题数据规模n的函数.已知某算法的时间复杂度 $T (n) = 20 n^{4} + n \log_{2} n$ ( $n \in N^{*}$ )，一台计算机每秒可以进行1.3亿次运算，则要保证该算法能在此计算机上1秒内完成一次运行，则n的最大值为（）

A、40 B、50 C、60 D、70

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10. 已知 $O_{1}$ 是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心O关于平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的对称点，则下列说法中错误的是（）

A、 $O_{1} C_{1} / /$ 平面 $A_{1} B C D_{1}$ B、平面 $O_{1} A_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $O_{1} B_{1} C_{1}$ C、 $O_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ D、 $O$ ， $O_{1}$ ， $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $D_{1}$ 六点在同一球面上

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x e^{x} ， x \leq 0 \\ \ln x ， x > 0 \end{array}$ ，若 $g (x) = f (x) - a x$ 有四个不同的零点，则a的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e})$ B、 $[\frac{1}{e} ， 1)$ C、 $[1 ， e)$ D、 $[e ， + \infty)$

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12. 银行按“复利”计算利息，即把上一个月的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一个月的利息.某人在银行贷款金额为A元，采用的还款方式为“等额本息”，即每个月还款1次，每次还款的金额固定不变，直到贷款的本金和利息全部还完为止.若月利率p固定不变，按“复利”计算本息和，分n个月还清(贷款1个月后开始第1次还款)，则此人每月还款金额为（）

A、 $\frac{A}{n}$ 元 B、 $\frac{A {(1 + p)}^{n}}{n}$ 元 C、 $\frac{A {(1 + p)}^{n}}{{(1 + p)}^{n} - 1}$ 元 D、 $\frac{A p {(1 + p)}^{n}}{{(1 + p)}^{n} - 1}$ 元

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二、填空题

13. 已知实数x ， y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ x + y \leq 2 \\ x + 3 y \geq 3 \end{array}$ ，则 $z = 4 x + y$ 的最大值等于.

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14. ${(2 x^{2} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为(用数字作答)

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15. 随着《生物多样性公约》第十五次缔约方大会(COP15)重新确定于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办，“生物多样性”的目标､方法和全球通力合作，又成为国际范围的热点关注内容.昆明市市花为云南山茶花，又名滇山茶，原产云南，国家二级保护植物.为了监测滇山茶的生长情况，从不同林区随机抽取100株滇山茶测量胸径D(厘米)作为样本，通过数据分析得到 $D \sim N (12.5, {4.5}^{2})$ ，若将 $D \geq 21.5$ 的植株建档重点监测，据此估算10000株滇山茶建档的约有株.附∶若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ .

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16. 设抛物线C∶ $y^{2} = 2 p x$ ( $p > 0$ )的焦点为 $F$ ，第一象限内的A ， B两点都在C上，O为坐标原点，若 $∠ A F O = ∠ A F B = \frac{π}{3}$ ， $| A B | = 2 \sqrt{2}$ ，则点A的坐标为.

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的三个内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ， $a \sin B + b \cos A = c$ .

(1)、求B；

(2)、设 $a = \sqrt{2} c$ ， $b = 2$ ，求c.

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18. 已知函数 $f (x) = x e^{x + 1} + x^{2} + 2 x + 2$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、证明∶对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x) \geq 0$ .

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19. 如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，H是 $A D$ 的中点，四边形 $A B C H$ 为正方形， $A B = A A_{1} = A_{1} D_{1}$ .

(1)、证明∶平面 $B_{1} C H ⊥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、求平面 $B_{1} C H$ 与平面 $C D D_{1} C_{1}$ 所成锐二面角的余弦值.

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20. 甲､乙两位选手在某次比赛的冠､亚军决赛中相遇，赛制为三局两胜(当一方赢得两局胜利时，该方获胜，比赛结束)，比赛每局均分出胜负.甲､乙以往进行过多次比赛，若从中随机抽取20局比赛结果作为样本，抽取的20局中甲胜12局､乙胜8局，若将样本频率视为概率，各局比赛结果相互独立.

(1)、求甲获得冠军的概率；

(2)、此次决赛设总奖金50万元，若决赛结果为 $2 : 0$ ，则冠军奖金为35万元，亚军奖金为15万元；若决赛结果为 $2 : 1$ ，则冠军奖金为30万元，亚军奖金为20万元.求甲参加此次决赛获得奖金数X的分布列和数学期望.

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21. 已知椭圆C∶ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，M为C上一点， $△ M F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $3 \sqrt{3}$ .

(1)、求C的标准方程；

(2)、已知点 $P (4, 0)$ ，O为坐标原点，不与x轴垂直的直线l与C交于A ， B两点，且 $∠ A P O = ∠ B P O$ .试问∶ $△ F_{1} A B$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由.

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22. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 \cos α \\ y = 2 \sin α \end{array}$ ( $α$ 为参数)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $\sqrt{2} ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) = 3$ .

(1)、求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)、设 $P (3, 0)$ ，若直线l与曲线C交于A ， B两点，求 $| | P A | - | P B | |$ .

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | x - b |$ .

(1)、当 $a = 1$ ， $b = 2$ 时，求不等式 $f (x) \geq 5$ 的解集；

(2)、设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若 $f (x)$ 的最小值为2，证明∶ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b + 1} \geq \frac{4}{3}$ .

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