云南省昆明市2021届“三诊一模”高三理数复习教学质量检测试卷

试卷更新日期：2021-05-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $\frac{z}{1 - i} = 2 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 3 - i$ B、 $- 3 + i$ C、 $3 + i$ D、 $3 - i$

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2. 集合 $A = {x | y = \ln (x - 1)}$ ， $B = {x | x > 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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3. 已知 $\sin α - \cos α = \frac{5}{4}$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $- \frac{9}{16}$ B、 $- \frac{7}{16}$ C、 $\frac{7}{16}$ D、 $\frac{9}{16}$

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4. 小华在学校里学习了二十四节气歌，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒6个冬季节气与立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨6个春季节气中一共选出3个节气，若冬季节气和春季节气各至少选出1个，则小华选取节气的不同方法种数是（）

A、90 B、180 C、220 D、360

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5. 已知 $P$ ， $Q$ 分别是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ 上的动点（不与顶点重合），则下列结论正确的是（）

A、平面 $A P Q$ 与平面 $A B C D$ 所成的角的大小为定值 B、 $A Q ⊥ B D_{1}$ C、四面体 $A B P Q$ 的体积为定值 D、 $A P //$ 平面 $D C C_{1} D_{1}$

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6. 在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在 $(1, 2021]$ 的整数中，把被4除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列 ${a_{n}}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的项数为（）

A、101 B、100 C、99 D、98

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7. 曲线 $y = x e^{- 2 x + 1}$ 在 $x = 1$ 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）

A、e B、 $\frac{e}{2}$ C、 $\frac{2}{e}$ D、 $\frac{1}{e}$

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8. 已知点 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ，则（）

A、 $\vec{P A} = - \frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{B C}$ B、 $\vec{P A} = \frac{2}{3} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$ C、 $\vec{P A} = - \frac{1}{3} \vec{B A} - \frac{2}{3} \vec{B C}$ D、 $\vec{P A} = \frac{2}{3} \vec{B A} - \frac{1}{3} \vec{B C}$

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9. 若等边三角形一边所在直线的斜率为 $3 \sqrt{3}$ ，则该三角形另两条边所在直线斜率为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{5}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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10. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点， $M$ 是椭圆短轴的端点，点 $N$ 在椭圆上，若 $\vec{M F_{1}} = 3 \vec{N F_{2}}$ ，则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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11. 饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》的违法行为，将受到法律处罚.检测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于 $20 mg/100ml$ ，小于 $80 mg/100ml$ 的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于 $80 mg/100ml$ 的驾驶行为.”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上一小时降低 $20 %$ .某人饮酒后测得血液中的酒精含量为 $100 mg/100ml$ ，若经过 $n (n \in N^{*})$ 小时，该人血液中的酒精含量小于 $20 mg/100ml$ ，则 $n$ 的最小值为（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010$ ）（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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12. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ ， $f (\frac{π}{6} + x) = - f (\frac{π}{6} - x)$ ， $f (\frac{π}{2} + x) = f (\frac{π}{2} - x)$ ，下列四个结论：
① $φ = \frac{π}{4}$ ② $ω = \frac{9}{2} + 3 k (k \in N)$ ③ $f (- \frac{π}{2}) = 0$ ④直线 $x = - \frac{π}{3}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴其中所有正确结论的编号是（）

A、①② B、①③ C、②④ D、③④

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二、填空题

13. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ， $O$ 为原点，若 $| O F | = 2 | O A |$ ，则 $C$ 的渐近线方程为.

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14. 甲、乙两个样本茎叶图如下，将甲中的一个数据调入乙，使调整后两组数据的平均值都比调整前增大，则这个数据可以是.（填一个数据即可）

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15. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ， $B C = 3$ ， $D$ 是 $B C$ 上的点， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，若 $A D = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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16. 由正三棱锥 $S - A B C$ 截得的三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各顶点都在球 $O$ 的球面上，若 $A B = 6$ ，三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的高为2，且球心 $O$ 在平面 $A B C$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 之间（不在两平面上），则 $A_{1} B_{1}$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为菱形， $E$ ， $F$ 分别为 $C C_{1}$ ， $A A_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $B$ ， $E$ ， $D_{1}$ ， $F$ 四点共面；

(2)、若 $A B = A A_{1}$ ， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，求直线 $A E$ 与平面 $B E D_{1} F$ 所成角的正弦值.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3 n} = 3 a_{n} - 2$ ，且 $S_{5} - S_{3} = 4 a_{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{3}{4}$ .

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19. 2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为国际数学日，以“庆祝数学在生活中的美丽和重要性”.为庆祝该节日，某中学举办了数学嘉年华活动，其中一项活动是“数学知识竞答”闯关赛，规定：每位参赛者闯关，需回答三个问题，至少两个正确则闯关成功.若小明回答第一，第二，第三个问题正确的概率分别为 $\frac{4}{5}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ，各题回答正确与否相互独立.

(1)、求小明回答第一，第二个问题，至少一个正确的概率；

(2)、记小明在闯关赛中回答题目正确的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及小明闯关成功的概率.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (1, 2)$ ， $B$ 是一动点，直线 $O A$ ， $O B$ ， $A B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，且 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} = \frac{1}{k_{3}}$ ，记 $B$ 点的轨迹为 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、已知直线 $l$ ： $x = t y + 1$ ， $l$ 与曲线 $E$ 交于 $C$ ， $D$ 两点，直线 $A C$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $M$ ， $N$ 两点，直线 $A D$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $P$ ， $Q$ 两点.当四边形 $M N P Q$ 的面积最小时，求直线 $l$ 的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \cos x - a x (a \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、证明： $\forall x \in [0 ， + \infty)$ ， $x e^{x} \geq \sin^{2} x + 2 \sin x - \sin x \cos x$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = 1 + t \end{array}$ （ $t$ 为参数）.以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴非负正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \cos θ$ .

(1)、求 $C_{1}$ 的极坐标方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $| O A | \cdot | O B |$ .

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 3 | + | 2 x - 3 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 6$ 的解集；

(2)、若 $\exists x \in [\frac{3}{2}, 3]$ ， $x^{3} - a f (x) + 16 < 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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