云南省大理州2021届高三理数二模试卷

试卷更新日期：2021-05-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x | \leq 2}$ ， $B = {x ∣ y = \lg (x - 1)}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ 1 < x < 2}$ B、 ${x ∣ 1 < x \leq 2}$ C、 ${x ∣ x \geq - 2}$ D、 ${x ∣ x \geq 2}$

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2. 设复数 $z = \frac{2}{1 - i} + 3 i$ ，则 $z$ 在复平面中对应的点为（）

A、 $(1, 4)$ B、 $(2, 5)$ C、 $(4, 1)$ D、 $(5, 2)$

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3. “ $θ = \frac{2 π}{3}$ ”是“ $\tan θ = 2 \cos (\frac{π}{2} + θ)$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 在区间 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 上任取一个数k，使直线 $y = k (x + 3)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相交的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 已知 $a = 2^{0.2}$ ， $b = \log_{2} 0.2$ ， $c = \log_{0.2} 2$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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6. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，则点 $(4 ， 0)$ 到 $C$ 的渐近线的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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7. 记S_n为等比数列{a_n}的前n项和．若a₅–a₃=12，a₆–a₄=24，则 $\frac{S_{n}}{a_{n}}$ =（）

A、2ⁿ–1 B、2–2¹^–ⁿ C、2–2ⁿ^–¹ D、2¹^–ⁿ–1

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8. 执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（）

A、10 B、15 C、18 D、21

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9. 已知四面体 $A - B C D$ 所有顶点都在球 $O$ 的球面上，且 $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ，若 $A B = 2$ ， $∠ B C D = 120 °$ ， $B C = C D = 1$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、4π B、6π C、8π D、12π

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10. 已知函数 $f (x) = \sin ω x + \sqrt{3} \cos ω x (ω > 0)$ 的零点依次构成一个公差为 $\frac{π}{2}$ 的等差数列，把函数 $f (x)$ 的图象沿x轴向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ （）

A、是偶函数 B、其图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 C、在 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上是增函数 D、在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{2π}{3}]$ 上的值域为 $[- \sqrt{3} ， 2]$

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11. 设抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F ，过F的直线l与抛物线交于点A，B ，与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ 交于点P，Q ，其中点A，P在第一象限，则 $2 | A P | + | Q B |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 3$ B、 $2 \sqrt{2} + 5$ C、 $4 \sqrt{2} + 5$ D、 $4 \sqrt{2} + 3$

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12. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + a$ ， $g (x) = x^{2} e^{x}$ ，若对于任意的 $x_{2} \in [- 1 ， 1]$ ，存在唯一的 $x_{1} \in [- \frac{1}{2} ， 2]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则实数a的取值范围是（）

A、（e，4） B、（e $+ \frac{1}{4}$ ，4] C、（e $+ \frac{1}{4}$ ，4） D、（ $\frac{1}{4}$ ，4]

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二、填空题

13. 已知 $| \vec{a} | = 1$ ， $\vec{b} =(0,2)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的大小为

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14. 中国古典数学有完整的理论体系，其代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》等，有3名中学生计划去图书馆阅读这四种古典数学著作(这四种著作每种各一本)，要求每人至少阅读一种古典数学著作，每种古典数学著作只有一人阅读，则不同的阅读方案的总数有种．(请用数字作答)

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15. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $A_{1} B$ 上移动，有下列判断：①平面 $B D P / /$ 平面 $B_{1} D_{1} C$ ；②平面 $P A C_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} D_{1} C$ ；③三棱锥 $P - B_{1} D_{1} C$ 的体积不变；④ $P C_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} D_{1} C$ ．其中，正确的是．（把所有正确的判断的序号都填上）

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16. 我们把 $F_{n} = 2^{2^{n}} + 1 (n = 0, 1, 2 \dots)$ 叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家），设 $a_{n} = \log_{2} (F_{n} - 1)$ ， $S_{n}$ 表示数列 ${a_{n}}$ 的前n项之和，则使不等式 $\frac{2^{2}}{S_{1} S_{2}} + \frac{2^{3}}{S_{2} S_{3}} + \dots + \frac{2^{n + 1}}{S_{n} S_{n + 1}} < \frac{63}{127}$ 成立的最大正整数n的值是

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三、解答题

17. △ABC中，角A ， B ， C对边的边长分别是a ， b ， c ，且a（cosB+cosC）＝b+c ．

(1)、求证：A $= \frac{π}{2}$ ；

(2)、若△ABC外接圆半径为1，求△ABC周长的取值范围．

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18. 如图甲，在 $△ A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 6$ ， $B C = 3$ ， $D$ ， $E$ 分别在 $A C$ ， $A B$ 上，且满足 $\frac{A E}{B E} = \frac{A D}{D C} = 2$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折到 $△ P D E$ 位置，得到四棱锥 $P - B C D E$ ，如图乙．

(1)、已知 $M$ ， $N$ 为 $P B$ ， $P E$ 上的动点，求证： $M N ⊥ D E$ ；

(2)、在翻折过程中，当二面角 $P - E D - B$ 为60°时，求直线 $C E$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值．

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19. 随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下：

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
x	2	3	4	6	8	10	13	21	22	23	24	25
y	13	22	31	42	50	56	58	68.5	68	67.5	66	66

当 $0 < x \leq 17$ 时，建立了y与x的两个回归模型：模型①： $\hat{y} = 4.1 x + 11.8$ ；模型②： $\hat{y} = 21.3 \sqrt{x} - 14.4$ ；当 $x > 17$ 时，确定y与x满足的线性回归方程为 $\hat{y} = - 0.7 x + a$ ．

(1)、根据下列表格中的数据，比较当

0 < x \leq 17

时模型①、②的相关指数

R^{2}

的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．

回归模型	模型①	模型②
回归方程	$\hat{y} = 4.1 x + 11.8$	$\hat{y} = 21.3 \sqrt{x} - 14.4$
$\sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}$	182.4	79.2

（附：刻画回归效果的相关指数 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ ， $\sqrt{17} \approx 4.1$ ）

(2)、为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．

（附：用最小二乘法求线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的系数： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ）

(3)、科技升级后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布

N (0.52, {0.01}^{2})

．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励：若芯片的效率超过50%，但不超过53%，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元记为每部芯片获得的奖励，求

E (Y)

（精确到0.01）．

（附：若随机变量 $X ~ N (μ, σ^{2}) (σ > 0)$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ）

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为 $2 \sqrt{2}$ ，直线 $l$ ： $y = x - 1$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $P (\frac{3}{4}, - \frac{1}{4})$ 为弦 $A B$ 的中点.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、若直线 $l$ ： $y = k x + m$ 与椭圆 $C$ 相交于不同的两点 $M$ ， $N$ ， $Q (0, m)$ ，若 $\vec{O M} + λ \vec{O N} = 3 \vec{O Q}$ （ $O$ 为坐标原点），求 $m$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = x \sin x + \cos x + \frac{1}{2} a x^{2}$ ， $x \in [- π ， π]$

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a > 0$ ，讨论 $f (x)$ 的零点个数；

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22. 以直角坐标系 $x O y$ 的原点为极坐标系的极点， $x$ 轴的正半轴为极轴．已知曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \cos θ + 8 \sin θ$ ， $P$ 是 $C_{1}$ 上一动点， $\vec{O P} = 2 \vec{O Q}$ ，点 $Q$ 的轨迹为 $C_{2}$ ．

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程，并化为直角坐标方程；

(2)、若点 $M (0, 1)$ ，直线 $l$ 的参数方程 ${\begin{array}{l} x = t \cos α \\ y = 1 + t \sin α \end{array}$ （ $t$ 为参数），直线 $l$ 与曲线 $C_{2}$ 的交点为 $A ， B$ ，当 $| M A | + | M B |$ 取最小值时，求直线 $l$ 的普通方程．

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23. 已知函数f（x）＝|2x+4|﹣|2x﹣2|．

(1)、求不等式|f（x）|＜4的解集；

(2)、记f （x）的最大值为m ，设a ， b ， c＞0，且a+2b+3c＝m ，证明： $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} + \frac{1}{3 c} \geq \frac{3}{2}$ ．

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