云南省2021届高三理数二模试卷

试卷更新日期：2021-05-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 满足 ${0, 1} \cup T = {0, 1, 2}$ 的集合 $T$ 的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 已知 $i$ 是虚数单位， $(2 + i) z - 3 + 2 i = 5 + i$ ，则复数 $z$ 的共轭复数等于（）

A、 $3 + 2 i$ B、 $3 - 2 i$ C、 $- 3 + 2 i$ D、 $- 3 - 2 i$

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3. 在 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{8}$ 的二项展开式中， $x$ 的系数是（）

A、3 B、5 C、7 D、9

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4. $\tan 87 ° - \tan 27 ° - \sqrt{3} \tan 27 ° \tan 87 ° =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、-2 D、-5

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5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 执行如图的程序框图，则输出的结果是（）

A、 $\frac{53}{60}$ B、 $\frac{47}{60}$ C、 $\frac{16}{21}$ D、 $\frac{37}{60}$

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7. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的中心是坐标原点 $O$ ， $F$ 是椭圆 $E$ 的焦点.若椭圆 $E$ 上存在点 $P$ ，使 $△ O F P$ 是等边三角形，则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $4 - 2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 都是等差数列，设 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n + 1}{3 n + 2}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}} =$ （）

A、 $\frac{19}{29}$ B、 $\frac{11}{25}$ C、 $\frac{11}{17}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 已知边长为 $3$ 的正 $△ A B C$ 的顶点和点 $D$ 都在球 $O$ 的球面上.若 $A D = 6$ ，且 $A D ⊥$ 平面 $A B C$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $32 \sqrt{3} π$ B、48π C、24π D、12π

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10. 从1，2，3，4，5这组数据中，随机取出三个不同的数，用 $X$ 表示取出的数字的最小数，则随机变量 $X$ 的数学期望 $E (X) =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{9}{5}$

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11. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} + a_{n} = 1$ .若 $S_{m} = \frac{255}{256}$ ，则 $m =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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12. 已知函数 $f (x) = 3 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < π)$ ， $f (4) = f (2) - 6$ ，且 $f (x)$ 在 $[2 ， 4]$ 上单调.设函数 $g (x) = f (x) - 1$ ，且 $g (x)$ 的定义域为 $[- 5 ， 8]$ ，则 $g (x)$ 的所有零点之和等于（）

A、0 B、4 C、12 D、16

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二、填空题

13. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 都是平面向量.若 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (3, - 2)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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14. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 \sqrt{10} x + 1 = 0$ 的圆心到双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的渐近线的距离为.

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15. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \geq - 3 \\ 2 x + y - 3 \leq 0 \\ x + 1 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y - 1$ 的最大值为.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 x + 1 ， x \leq 1 \\ x^{2} - 1 ， x > 1 \end{array}$ ，若 $n > m$ ，且 $f (n) = f (m)$ ，设 $t = n - m$ ，则 $t$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $a \cos C + c \cos A + 2 b \cos B = 0$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 6$ ，求 $△ A B C$ 面积 $S$ 的最大值.

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18. 某公司为一所山区小学安装了价值2万元的一台饮用水净化设备，每年都要为这台设备支出保养维修费用，我们称之为设备年度保养维修费.下表是该公司第 $x$ 年为这台设备支出的年度保养维修费 $y$ （单位：千元）的部分数据：

$x$

2

3

4

5

6

$y$

2.1

3.4

5.9

6.6

7.0

画出散点图如下：

通过计算得 $y$ 与 $x$ 的相关系数 $r \approx 0.96$ .由散点图和相关系数 $r$ 的值可知， $y$ 与 $x$ 的线性相关程度很高.

附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、建立 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、若设备年度保养维修费不超过1.93万元就称该设备当年状态正常，根据（1）得到的线性回归方程，估计这台设备有多少年状态正常？

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 $B_{1} B C C_{1}$ 是菱形， $∠ B_{1} B C = 60 °$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B ⊥ B B_{1}$ ， $D$ 为棱 $B C$ 的中点.

(1)、求证：平面 $A B_{1} D ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $A B = B C$ ，求二面角 $D - A B_{1} - C$ 的正弦值.

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20. 已知 $e$ 是自然对数的底数， $f (x) = x e^{x} - 1$ ， $F (x) = f (x) - a (\ln x + x)$ .

(1)、当 $a \leq 0$ 时，求证： $F (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增；

(2)、是否存在实数 $a$ ，对任何 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $F (x) \geq 0$ ？若存在，求出 $a$ 的所有值；若不存在，请说明理由.

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21. 已知抛物线 $C$ 的顶点在坐标原点，焦点在 $y$ 轴的正半轴上，直线 $l ： m x + y - \frac{3}{2} = 0$ 经过抛物线 $C$ 的焦点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，过 $A$ 、 $B$ 两点分别作抛物线 $C$ 的切线，两条切线相交于点 $P$ ，求 $△ A B P$ 面积的最小值.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - T^{2} \\ y = \frac{T}{m} \end{array}$ （ $T$ 为参数）.以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 $P$ 的极坐标为 $(\sqrt{2}, \frac{π}{4})$ ，直线 $l_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ \cos θ - 2 ρ \sin θ + 3 = 0$ ，直线 $l_{2}$ 过点 $P$ 且与直线 $l_{1}$ 平行.

(1)、直接写出曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l_{2}$ 的参数方程；

(2)、设直线 $l_{2}$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点.若 $| A B |$ 是 $| P A |$ 与 $| P B |$ 的等比中项，求实数 $m$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 1 |$ .

(1)、若 $f (x + 1) + f (x - 1) \leq 5$ ，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $a \in (- \infty, + \infty)$ ，且 $a \neq 0$ ，求证： $\forall x \in (- \infty, + \infty)$ ， $f (x + a) + f (x - \frac{1}{a}) \geq 4$

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$x$	2	3	4	5	6
$y$	2.1	3.4	5.9	6.6	7.0