新疆2021届高三文数第一次联考试卷

试卷更新日期：2021-05-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | (x + 1) (x - 3) < 0, x \in Z}, B = {- 1, 1, 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2, 3}$ B、 ${1, 2, 3}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${- 1, 1, 2}$

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2. 已知单位圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，角 $α$ 的始边与 $x$ 轴非负半轴重合，终边 $O P$ 与单位圆交于点 $P (x, - \frac{1}{3})$ ，且点 $P$ 在第三象限，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $\pm \frac{7}{9}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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3. 设 $z = a + b i, a, b \in R$ ，且 $(1 + i) a = 1 + b i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、3

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4. “剩余定理”又称“孙子定理”.1874年，英国数学家马西森指出此算法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”该定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2029这2029个整数中，能被3除余2且能被4除余2的数按从小到大顺序排成一列，构成数列 ${a_{n}}$ ，则此数列所有项中，中间项为（）

A、1010 B、1020 C、1021 D、1022

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5. 函数 $y = - x^{2} + 2^{| x |}$ 在 $[- 3 ， 3]$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知向量 $\vec{a} = (1, 0), \vec{b} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则下列向量中与 $\vec{b}$ 垂直的是（）

A、 $2 \vec{a} - \vec{b}$ B、 $2 \vec{a} + \vec{b}$ C、 $\vec{a} - \vec{b}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$

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7. $2020$ 年初，突如其来的新冠肺炎在某市各小区快速传播，该市防疫部门经国家批准立即启动 $1$ 级应急响应，要求居民不能外出，居家隔离.为了做好应急前的宣传工作，现有 $5$ 名志愿者参加抗疫宣传活动，其中有3名男生和2名女生，若要选派2名志愿者到 $A$ 小区做宣传工作，则恰好选派 $1$ 名男生和 $1$ 名女生的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 若过点 $(- 4, 2)$ 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 $3 x + y + 12 = 0$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$

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9. 已知抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，其准线与双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 相交于 $M, N$ 两点，若 $△ M N F$ 为直角三角形，其中 $F$ 为直角顶点，则 $p =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4}) + \frac{1}{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 的一条对称轴方程为 $x = - \frac{5 π}{8}$ C、 $f (\frac{3}{2}) < f (0) < f (1)$ D、 $f (\frac{3}{2}) < f (1) < f (0)$

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11. 若 $\log_{2} x - \log_{2} y < \log_{\frac{1}{2}} x - \log_{\frac{1}{2}} y$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $e^{y - x} < 1$ B、 $\lg (y - x + 1) > 0$ C、 $\ln (y - x) > 0$ D、 $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$

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12. 已知三棱锥 $P - A B C$ ， $A B = B C = 2$ ， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $P A = 4 \sqrt{3}$ ，PA过三棱锥 $P - A B C$ 外接球心O ，点E是线段AB的中点，过点E作三棱锥 $P - A B C$ 外接球O的截面，则下列结论正确的是（）

A、三棱锥 $P - A B C$ 体积为 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ B、截面面积的最小值是2π C、三棱锥 $P - A B C$ 体积为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、截面面积的最小值是 $\frac{π}{2}$

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二、填空题

13. 在锐角三角形 $△ A B C$ 中，已知 $\sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\tan A =$ .

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14. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} + a_{4} = \frac{5}{16}, a_{5} + a_{7} = \frac{5}{128}$ ，则 $S_{n} =$ .

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15. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \leq 1 \\ 2 x + y \leq 2 \\ 5 x + y \geq - 1 \end{array}$ ，则 $z = - x + 2 y$ 的最大值是.

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16. 设有下列四个命题：
$p_{1}$ ：空间中两两相交的三个平面，若它们的交线有三条，则这三条交线必相交于一点．

$p_{2}$ ：过空间中任意一点作已知平面的垂线，则所作的垂线有且仅有一条．

$p_{3}$ ：若空间两条直线不相交，则这两条直线互为异面直线．

$p_{4}$ ：若直线 $l \subset$ 平面 $α$ ，直线 $m //$ 平面 $α$ ，则直线 $m$ 与直线 $l$ 一定不相交．

则下述命题中所有真命题的序号是．

① $p_{1} \lor p_{4}$ ；② $(\neg p_{1}) \land p_{2}$ ；③ $p_{2} \land (\neg p_{3})$ ；④ $(\neg p_{3}) \land (\neg p_{4})$ ．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1}$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的公比为 $q$ ，且 $a_{1} = b_{2} = 2, a_{3} = b_{4}, a_{n} b_{n} - n b_{n + 1} = (n - 1) b_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和 $S_{n}$ .

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18. 2020年是我国全面建成小康社会和打赢脱贫攻坚战的收官之年，某省为了坚决打嬴脱贫攻坚战，在100个贫闲村中，用简单随机抽样的方法抽取15个进行脱贫验收调查，调查得到的样本数据 $(x_{i}, y_{i})$ $(i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 15)$ ，其中 $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 分別表示第i个贫困村中贫闲户的年平均收入（单位：万元）和产业扶贫资金投入数量（单位：万元），并计算得到 $\sum_{i = 1}^{15} x_{i} = 15$ ， $\sum_{i = 1}^{15} y_{i} = 750$ ， $\sum_{i = 1}^{15} {(x_{i} - x)}^{2} = 0.82$ ， $\sum_{i = 1}^{15} {(y_{i} - y)}^{2} = 1670$ ， $\sum_{i = 1}^{15} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 35.3$ ．
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - x) (y_{i} - y)}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - x)}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - y)}^{2}}}$ ， $\sqrt{1369.4} \approx 37$ ．

(1)、试估计该省贫困村的贫困户年平均收入．

(2)、根据样本数据，求该省贫困村中贫困户年平均收入与产业扶贫资金投入的相关系数．（精确到0.01）

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19. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且与双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 有相同的焦点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的左焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，若 $| A B | = \frac{16}{13}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90^{°} ， A A_{1} = A B = 2 A C = 4 ， D$ 在棱 $A A_{1}$ 上.

(1)、若 $D$ 为 $A A_{1}$ 的中点，求证：平面 $B_{1} C D ⊥$ 平面 $B_{1} C_{1} D$ ；

(2)、若 $E$ 为 $A B$ 上的一动点，当三棱锥 $E - B B_{1} C$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $A E$ .

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21. 已知函数 $f (x) = a \ln x - 2 a x + \frac{x^{2}}{2}$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时， $f (x) \geq 2 x + m$ ，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $a > 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 \cos α \\ y = \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 $ρ \sin (θ - \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求C的普通方程和直线l的倾斜角；

(2)、设点 $P (1, 0)$ ，l和C交于A ， B两点，求 $| P A | + | P B |$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (| x + 2 | + | x - 1 | - a)$ ．

(1)、当 $a = 4$ 时，求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) \geq 3$ 的解集为 $R$ ，求实数a的取值范围．

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