四省名校2021届高三文数第三次大联考试卷

试卷更新日期：2021-05-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x, y) | y \leq \sqrt{3 - x^{2}}, x, y \in N}$ ，则集合 $A$ 中元素的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 已知复数 $z = \frac{1 + 2 i}{i}$ ，则 $z$ 的共轭复数为（）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, λ)$ ，若向量 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 与向量 $\vec{a}$ 共线，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $\frac{13}{4}$

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4. 已知样本数据为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ ，该样本平均数为 $4$ ，方差为 $2$ ，现加入一个数 $4$ ，得到新样本的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{x} > 4, s^{2} > 2$ B、 $\bar{x} = 4, s^{2} < 2$ C、 $\bar{x} < 4, s^{2} < 2$ D、 $\bar{x} = 4, s^{2} > 2$

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{4} = 30, a_{1} a_{3} = 9$ ，则公比 $q =$ （）

A、9或-11 B、3或-11 C、3或 $\frac{1}{3}$ D、3或-3

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6. 已知 $α$ 为第二象限角﹐且 $\tan (α - π) = - \frac{1}{2}$ ，则 $\cos (α + \frac{3 π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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7. 设 $O$ 为坐标原点，直线 $l$ 过定点 $(1, 0)$ ，且与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A, B$ 两点，若 $O A ⊥ O B, | O A | = | O B |$ ，则抛物线 $C$ 的准线方程为（）

A、 $x = - \frac{1}{4}$ B、 $x = - \frac{1}{2}$ C、 $x = - 1$ D、 $x = - 2$

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8. 已知点 $P (1, 2)$ ，则当点 $P$ 到直线 $2 a x + y - 4 = 0$ 的距离最大时， $a =$ （）

A、1 B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\sqrt{5}$

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9. 某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉.现环保局要求其整改，降低声强.已知声强 $I$ （单位： $W / m^{2}$ ）)表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级 $L$ （单位： $d B$ ）与声强 $I$ 的函数关系式为 $L = 10 \lg (a I)$ ，其中 $a$ 为正实数.已知 $I = 10^{13} W / m^{2}$ 时， $L = 10 d B$ .若整改后的施工噪音的声强为原声强的 $10^{- 2}$ ，则整改后的施工噪音的声强级降低了（）

A、 $50 d B$ B、 $40 d B$ C、 $30 d B$ D、 $20 d B$

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10. 给出下列命题：① $\ln 2 > \frac{2}{3}$ ，② $\ln 2 > \frac{2}{e}$ ，③ $\log_{2} 3 > \log_{5} 8$ ，其中真命题为（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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11. 如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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12. 已知函数 $f (x) = \sin x + \cos x \sin x$ ，则下列关于函数 $f (x)$ 的说法中，正确的个数是（）
① $2 π$ 是 $f (x)$ 的周期；② $f (x)$ 是偶函数；③ $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称；④ $f (x)$ 的最小值是 $- \frac{3 \sqrt{3}}{4}$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 已知命题 $p : \forall x \in [1, 2], x^{2} - a x - 3 \leq 0$ ，若 $p$ 为真命题，则 $a$ 的取值范围为(结果用区间表示).

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14. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F (2, 0)$ ，点 $F$ 到其渐近线的距离为 $1$ ，则双曲线的离心率为.

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15. 某工厂需要生产 $A$ 产品与 $B$ 产品，现有原料18吨，每件 $A$ 产品需原料3吨，利润为5万元，每件 $B$ 产品需原料1吨，利润为1万元， $A$ 产品的件数不能超过 $B$ 产品的件数的 $\frac{2}{3}$ ，则工厂最大利润为万元.

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16. 已知在三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ B A C = 90^{°} ， A B = A C = 4 ， ∠ A P C = 30^{°}$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $\cos C = \frac{a}{b} - \frac{c}{2 b}$

(1)、求角 $B$ ;

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\sqrt{3}$ ，且 $A C$ 边上的中线长为 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积

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18. 某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24、16、8.现在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查.

(1)、现采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期调查，求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？

(2)、将该企业所有员工随机平均分成4组﹐先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验.已知每组化验结果呈阴性的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，记 $B_{i} (i = 1, 2, 3, 4)$ 为“第 $i$ 组化验结果呈阴性”， ${\bar{B}}_{i} (i = 1, 2, 3, 4)$ 为“第 $i$ 组化验结果呈阳性”，请计算恰有两个组需要进一步逐个化验的概率.

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19. 已知四边形 $A B C D ， A B = A D = 2 ， ∠ B A D = 60^{°} ， ∠ B C D = 30^{°}$ .现将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 边折起，使得平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D ， A D ⊥ C D$ .点 $P$ 在线段 $A D$ 上，平面 $B P C$ 将三棱锥 $A - B C D$ 分成两部分， $V_{A - B P C} ： V_{A - B C D} = 1 ： 2$ .

(1)、求证： $B P ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若 $M$ 为 $C D$ 的中点，求 $M$ 到平面 $B P C$ 的距离.

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20. 已知F是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点，焦距为4，且C过点 $P (\sqrt{3}, 1)$ .

(1)、求C的方程;

(2)、过点F作两条互相垂直的直线 $l_{1}, l_{2}$ ，若 $l_{1}$ 与C交于 $A, B$ 两点， $l_{2}$ 与C交于 $D, E$ 两点，记AB的中点为 $M, D E$ 的中点为 $N$ ，试判断直线 $M N$ 是否过定点，若过点，请求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - k x^{2}$ ，其中 $k$ 为实数， $e$ 为自然对数的底数.

(1)、若 $k = \frac{1}{2}$ ，证明：当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq x + 1$ 恒成立﹔

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq 2 x + 1 - \sin x$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{2} \cos α \\ y = \sqrt{2} \sin α \end{array}$ ( $α$ 为参数).以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $\sqrt{2} ρ \cos (\frac{3 π}{4} - θ) = 1$

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的倾斜角;

(2)、已知点 $M$ 的直角坐标为 $(0, 1)$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于不同的两点 $A, B$ ，求 $| M A | + | M B |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a^{2} - 1 | + | x - 6 |$

(1)、当 $a = 0$ 时，解不等式 $f (x) > 12$

(2)、记集合 $M = {x | f (x) - 2 b = 0}$ ，若存在 $a \in R$ 使 $M \neq \emptyset$ ，求实数 $b$ 的取值范围.

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