四川省遂宁等八市联考2021届高三理数第二次诊断考试试卷

试卷更新日期：2021-05-13 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 3 x - 4 \leq 0}$ ， $B = {x | | x | < 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < 2}$ B、 ${x | - 2 < x \leq 1}$ C、 ${x | - 2 < x \leq 4}$ D、 ${x | - 4 \leq x < 2}$

查看试题解析
2. 复数 $\frac{3 + 4 i}{2 - i}$ 的虚部是（）

A、11 B、 $\frac{11}{5}$ C、1 D、 $\frac{2}{5}$

查看试题解析
3. 若 $\cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{5}$ ， $α$ 为锐角.则 $\cos (α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{1 + 6 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{6}}{10}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6} - \sqrt{3}}{10}$ D、 $\frac{1 - 6 \sqrt{2}}{10}$

查看试题解析
4. 若 ${(\sqrt{x} + \frac{a}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x$ 的系数为15，则 $a =$ （）

A、2 B、3. C、4 D、5

查看试题解析
5. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $M$ 为线段 $B C$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $A_{1} M ⊥ B D$ B、 $A_{1} M //$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$ C、 $A_{1} M ⊥ A B_{1}$ D、 $A_{1} M ⊥$ 平面 $A B C_{1} D_{1}$

查看试题解析
6. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且 $a_{n + 2} - a_{n} = 1 + {(- 1)}^{n + 1}$ ，则 $S_{100}$ 的值为（）

A、5050 B、2600 C、2550 D、2450

查看试题解析
7. 若过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点且斜率为2的直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则线段 $A B$ 的长为（）

A、3. B、4 C、5 D、6

查看试题解析
8. 函数 $f (x) = e^{| x |} - \ln | x | - 2$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
9. 已知过点 $(0, 2)$ 的直线 $l$ 与圆心为 $C$ 的圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 10$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，当 $△ A B C$ 面积最大时，直线 $l$ 的方程为（）

A、 $2 x - y + 2 = 0$ B、 $2 x - y + 2 = 0$ 或 $2 x + y - 2 = 0$ C、 $x = 0$ D、 $x = 0$ 或 $2 x + y - 2 = 0$

查看试题解析
10. “四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史､思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

查看试题解析
11. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点，过点 $F_{1}$ 倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点 $A$ ， $B$ .若 $| A F_{2} | = | B F_{2} |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

查看试题解析
12. 若 $e^{x} - (a - 1) x - \ln x - \ln a \geq 0$ ，则 $a$ 的最大值为（）

A、 $\frac{e}{4}$ B、 $\frac{e}{2}$ C、e D、2e

查看试题解析

二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (t, \sqrt{3})$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $t =$ .

查看试题解析
14. 记 $S_{n}$ 为正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} + a_{2} = 96$ ， $a_{3} = 16$ ，则 $S_{7}$ 的值为.

查看试题解析
15. 设球的半径为 $\frac{3}{4}$ ，该球的内接圆锥(顶点在球面上，底面为某平面与球的截面)的体积为 $V$ ，则 $V$ 的最大值为.

查看试题解析
16. 函数 $f (x) = A (\sin ω x + \cos ω x) + b (A > 0, ω > 0)$ 的最大值为3，最小值为-1，图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $2 π$ .则 $b =$ ， $ω =$ .

查看试题解析

三、解答题

17. 某医疗机构承担了某城镇的新冠疫苗接种任务.现统计了前8天每天(用 $t = 1$ ，2，…，8表示)的接种人数 $y$ (单位：百)相关数据，并制作成如图所示的散点图：

参考数据： $\bar{y} = 12.25$ ， $\sum_{i = 1}^{8} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} = 42$ ， $\sum_{i = 1}^{8} (y_{i} - \bar{y}) (t_{i} - \bar{t}) = 70$ .参考公式：对于一组数据 $(t_{1} ， y_{1})$ ， $(t_{2} ， y_{2})$ ，…， $(t_{n} ， y_{n})$ ，回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} t$ 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{8} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{8} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} t$ .

(1)、由散点图看出，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $t$ 的关系，求 $y$ 关于 $t$ 的回归方程(系数精确到0.01)；

(2)、根据该模型，求第10天接种人数的预报值；并预测哪一天的接种人数会首次突破2500人.

查看试题解析
18. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $2 b - c = 2 a \cos C$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $c = 2$ ，求 $b$ 的取值范围.

查看试题解析
19. 在如图所示的多面体中， $A B C D$ 是边长为3的正方形， $A$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 四点共面， $A F //$ 面 $C D E$ ， $A F = 1$ ， $D E = 3$ ， $E F = \sqrt{13}$ .

(1)、求证： $A D ⊥$ 平面 $C D E$ ；

(2)、若 $C E = 3 \sqrt{2}$ ，求二面角 $F - B E - C$ 的余弦值.

查看试题解析
20. 设函数 $f (x) = e^{x} - a x - b + 1 (a ， b \in R)$ .

(1)、若 $b = 1$ ， $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求证： $b - a^{2} < \frac{7}{4}$ .

查看试题解析
21. 如图，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的左焦点为 $F$ ，直线 $y = k x (k > 0)$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $\vec{F A} \cdot \vec{F B} = 0$ 时， $k = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、设线段 $A F$ ， $B F$ 的延长线分别交椭圆 $C$ 于 $D$ ， $E$ 两点，当 $k$ 变化时，直线 $D E$ 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + \frac{\sqrt{6}}{2} \cos α, \\ y = \frac{\sqrt{6}}{2} \sin α \end{array}$ ( $α$ 为参数).以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ \sin^{2} θ - 4 \cos θ = 0$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程与曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设直线 $l$ ： ${\begin{array}{l} x = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t, \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ ( $t$ 为参数)与曲线 $C_{2}$ ， $C_{1}$ 的交点从上到下依次为 $P$ ， $M$ ， $N$ ， $Q$ ，求 $| P M | + | N Q |$ 的值.

查看试题解析
23. 设函数 $f (x) = | x + 2 | - | x - t |$ .

(1)、当 $t = 1$ 时，求不等式 $f (x) > 2$ 的解集；

(2)、若对于任意实数 $x$ ，不等式 $f (x) \leq t^{2} + 2 t$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

查看试题解析