四川省绵阳市2021届高三理数第三次诊断考试试卷

试卷更新日期：2021-05-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} > 1}$ ，则 $∁_{R} A =$ （）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$

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2. 若复数 $z$ 满足 $(z - 1) i = 1 + i$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y \geq - 2 ， \\ y + 2 \geq 0 ， \\ x + 2 y \leq 2 \end{array}$ 则 $z = 3 x + y$ 的最小值为（）

A、-10 B、-8 C、16 D、20

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4. 在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和上一时期相比较的增长率.根据下图，2020年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法错误的是（）

A、2020年全国居民每月消费价格与2019年同期相比有涨有跌 B、2020年1月至2020年12月全国居民消费价格环比有涨有跌 C、2020年1月全国居民消费价格同比涨幅最大 D、2020年我国居民消费价格中3月消费价格最低

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5. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x (1 - x)$ .则不等式 $x \cdot f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$

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6. $(x - 1) \cdot {(\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（）

A、48 B、54 C、60 D、72

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7. 已知 $a = {(\frac{1}{3})}^{0.3}$ ， $b = \log_{\frac{1}{3}} 0.3$ ， $c = a^{b}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b > a > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > b > a$ D、 $a > b > c$

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8. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = \sqrt{5}$ ，点 $F$ 为边 $C D$ 的中点，若 $\vec{A F} \cdot \vec{D F} = 0$ ，则 $\vec{B F} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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9. 已知圆锥的顶点和底面圆周都在球 $O$ 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，面积为 $3 π$ ，则球 $O$ 的表面积等于（）

A、 $\frac{81 π}{8}$ B、 $\frac{81 π}{2}$ C、 $\frac{121 π}{8}$ D、 $\frac{121 π}{2}$

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10. 若函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x + c o s ω x (ω > 0)$ 在区间 $(0, \frac{π}{6})$ 上仅有一条对称轴及一个对称中心，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(5, 8)$ B、 $(5, 8]$ C、 $(5, 11]$ D、 $[5, 11)$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{n} = 3 a_{n - 1} + 4 a_{n - 2} (n \geq 3)$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、 $\frac{4^{10} - 1}{5}$ B、 $\frac{4^{11} - 1}{5}$ C、 $4^{10} - 1$ D、 $4^{11} - 1$

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12. 已知点 $F$ 为抛物线 $E : x^{2} = 4 y$ 的焦点， $C (0, - 2)$ ，过点 $F$ 且斜率为 $1$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P$ 为抛物线上任意一点，若 $\vec{C P} = m \vec{C A} + n \vec{C B}$ ，则 $m + n$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、填空题

13. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4} = 5 a_{5}$ ，则 $a_{15} =$ .

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14. 若函数 $f (x) = x^{2} e^{x} - m \ln x$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线过点 $(0 ， 0)$ ，则实数 $m =$ .

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15. 已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 有共同的一焦点，过 $E$ 的左焦点且与曲线 $C$ 相切的直线恰与 $E$ 的一渐近线平行，则 $E$ 的离心率为.

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16. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ 是 $B C$ 上的两个三等分点，点 $G$ ， $H$ 是 $A_{1} D_{1}$ 上的两个三等分点，点 $M$ ， $N$ ， $P$ 分别为 $A B$ ， $C_{1} D_{1}$ 和 $C D$ 的中点，点 $Q$ 是 $A_{1} M$ 上的一个动点，下面结论中正确的是.

① $F H$ 与 $A C_{1}$ 异面且垂直；

② $F G$ 与 $A C_{1}$ 相交且垂直；

③ $D_{1} Q //$ 平面 $E F N$ ；

④ $B_{1}$ ， $H$ ， $F$ ， $P$ 四点共面.

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三、解答题

17. 在斜三角形 $A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c^{2} = 2 a b c o s C$ .

(1)、若 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且满足 $4 S = c^{2}$ ，求角 $C$ 的大小；

(2)、证明： $\frac{2}{t a n C} = \frac{1}{t a n A} + \frac{1}{t a n B}$ .

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18. 2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行.它被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习《中华人民共和国民法典》并组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取

20

名学生的成绩(单位：分)，绘制成如图所示的茎叶图：

(1)、通过茎叶图分析哪个年级的学生学习效果更好；(不要求计算，分析并给出结论)

(2)、根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级：

测试成绩(单位：分)	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100)$
等级	合格	中等	良好	优秀

①从样本中任取2名同学的竞赛成绩，在成绩为优秀的情况下，求这2名同学来自同一个年级的概率.

②现从样本中成绩为良好的学生中随机抽取3人座谈，记 $X$ 为抽到高二年级的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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19. 如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为梯形， $A B // D C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $D E ⊥$ 平面 $A B E$ .

(1)、求证：平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $D C = D E = 1$ ， $A B = A D = 2$ ，求二面角 $D - B C - E$ 所成角的余弦值.

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右焦点为 $F$ ，上顶点为 $A$ ，左顶点为 $B$ ，且 $| F A | \cdot | F B | = 10 + 5 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、已知 $C (- 4, 0)$ ， $D (4, 0)$ ，点 $P$ 在椭圆上，直线 $P C$ ， $P D$ 分别与椭圆交于另一点 $M$ ， $N$ ，若 $\vec{C P} = λ \vec{C M}$ ， $\vec{D P} = μ \vec{D N}$ ，求证： $λ + μ$ 为定值.

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n (x - 1) + l n a + 1$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值点的个数；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $E$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{10} \cos α, \\ y = \sqrt{10} \sin α + 4 \end{array}$ ( $α$ 为参数)，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t \cos β \\ y = t \sin β \end{matrix}$ ( $t$ 为参数， $0 \leq β < π$ ).以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、分别写出曲线 $E$ 和直线 $l$ 的极坐标方程；

(2)、直线 $l$ 与曲线 $E$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $\vec{O N} = 3 \vec{O M}$ ，求直线 $l$ 的斜率.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 2 | + | 2 x - 1 |$ ， $g (x) = | x + 1 | + | 4 x - 2 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 4$ 的解集；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $2 f (x) - g (x) \geq a | x |$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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