四川省成都市2021届高三理数第二次诊断性检测试卷

试卷更新日期:2021-05-13 类型:高考模拟

一、单选题

  • 1. 设集合 A={x|lgx<1}B={x|x>3} ,则 AB= (    )
    A、(0,+) B、(3,10) C、(,+) D、(3,+)
  • 2. 已知i为虚数单位.则复数 z=(1+i)(2i) 的虚部为(    )
    A、i B、i C、-1 D、1
  • 3. 命题“ x>0x2+x+1>0 ”的否定为(    )
    A、x00x02+x0+10 B、x0x2+x+10 C、x0>0x02+x0+10 D、x>0x2+x+10
  • 4. 袋子中有5个大小质地完全相同的球.其中3个红球和2个白球,从中不放回地依次随机摸出两个球.则摸出的两个球颜色相同的概率为(    )
    A、15 B、25 C、35 D、45
  • 5. 已知 sin(α+β)=23sin(αβ)=13 ,则 tanαtanβ 的值为(    )
    A、13 B、13 C、-3 D、3
  • 6. 在 ABC 中,已知 AB=ACDBC 边中点,点 O 在直线 AD 上,且 BCBO=3 ,则 BC 边的长度为(    )
    A、6 B、23 C、26 D、6
  • 7. 已知圆柱的两个底面的圆周在体积为 32π3 的球 O 的球面上,则该圆柱的侧面积的最大值为(    )
    A、 B、 C、12π D、16π
  • 8. 已知 P 是曲线 y=sinx+cosx(x[03π4]) 上的动点,点 Q 在直线 x+y6=0 上运动,则当 |PQ| 取最小值时,点 P 的横坐标为(    )
    A、π4 B、π3 C、π2 D、3
  • 9. 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn 满足 Sn=n2 ,记数列 {1anan+1} 的前 n 项和为 TnnN* .则使得 Tn<2041 成立的 n 的最大值为(    )
    A、17 B、18 C、19 D、20
  • 10. 某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量 P(mg/L) 与时间 t(h) 之间的关系为 P=P0ekt .如果前2小时消除了20%的污染物,则污染物减少50%大约需要的时间为(参考数据: ln20.69ln31.10ln51.61 )(    )
    A、4h B、6h C、8h D、10h
  • 11. 已知 F 为抛物线 y2=2x 的焦点, A 为抛物线上的动点,点 B(1,0) .则当 2|AB|2|AF|+1 取最大值时, |AB| 的值为(    )
    A、2 B、5 C、6 D、22
  • 12. 已知四面体 ABCD 的所有棱长均为 2MN 分别为棱 ADBC 的中点, F 为棱 AB 上异于 AB 的动点.有下列结论:

    ①线段 MN 的长度为1;②若点 G 为线段 MN 上的动点,则无论点 FG 如何运动,直线 FG 与直线 CD 都是异面直线;③ MFN 的余弦值的取值范围为 [055) ;④ FMN 周长的最小值为 2+1 .其中正确结论的个数为(    )

    A、1 B、2 C、3 D、4

二、填空题

  • 13. 已知函数 f(x)={x2x,x<12x+1,x1 ,若 f(a)=2 ,则 a 的值为
  • 14. 正项数列 {an} 满足 anan+2=an+12nN* .若 a5=19a2a4=1 ,则 a2 的值为
  • 15. 设双曲线 x2a2y2b2=1(a>0b>0) 的左,右焦点分别为 F1F2 ,以 F1F2 为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为 P ,直线 PF1 与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为 Q .若点 Q 恰好为线段 PF1 的中点,则直线 PF1 的斜率的值为
  • 16. 已知定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x)=f(2x) ,且对任意的 x1x2[1,+) ,当 x1x2 时,都有 x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1) 成立.若 a=f(ln2)b=f(log0.20.03)c=f(20.7) ,则 abc 的大小关系为 . (用符号“ < ”连接)

三、解答题

  • 17. ABC 的内角 ABC 的对边分别为 abc ,已知 (2ba)cosC=ccosA
    (1)、求角 C 的大小;
    (2)、若 a=2c(acosBbcosA)=b2 ,求 ABC 的面积.
  • 18. 某种机械设备随着使用年限的增加,它的使用功能逐渐减退,使用价值逐年减少,通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用,称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限 x (单位:年)与失效费 y (单位:万元)的统计数据如下表所示:

    使用年限 x (单位:年)

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    失效费 y (单位:万元)

    2.90

    3.30

    3.60

    4.40

    4.80

    5.20

    5.90

    (Ⅰ)由上表数据可知,可用线性回归模型拟合 yx 的关系.请用相关系数加以说明;(精确到0.01)

    (Ⅱ)求出 y 关于 x 的线性回归方程,并估算该种机械设备使用10年的失效费.

    参考公式:相关系数 r=i=1n(xix¯)(yiy¯)i=1n(xix¯)2i=1n(yiy¯)2

    线性回归方程 y^=b^x+a^ 中斜率和截距最小二乘估计计算公式: b^=i=1n(xix¯)(yiy¯)i=1n(xix¯)2a^=y¯b^x¯

    参考数据: i=17(xix¯)(yiy¯)=14.00i=17(yiy¯)2=7.08198.2414.10

  • 19. 如图①,在等腰三角形 PBC 中, PB=PC=35BC=6DE 满足 BD=2DPCE=2EP .将 PDE 沿直线 DE 折起到 ADE 的位置,连接 ABAC ,得到如图②所示的四棱锥 ABCED ,点 F 满足 BF=2FA

    (Ⅰ)证明: DF// 平面 ACE

    (Ⅱ)当 AB=29 时,求平面 ACE 与平面 DEF 所成锐二面角的余弦值.

  • 20. 已知椭圆 Cx2a2+y2b2=1(a>b>0) 经过点 A(1,32) ,其长半轴长为2.

    (Ⅰ)求椭圆C的方程;

    (Ⅱ)设经过点 B(1,0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 DE 两点,点 E 关于 x 轴的对称点为 F ,直线 DFx 轴相交于点 G ,求△ DEG 的面积 S 的取值范围.

  • 21. 已知函数 f(x)=x+ax(a1)lnx2 ,其中 aR

    (Ⅰ)若 f(x) 存在唯一极值点,且极值为0,求 a 的值;

    (Ⅱ)讨论 f(x) 在区间 [1e2] 上的零点个数.

  • 22. 在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 的参数方程为 {x=1+cosφy=sinφφ 为参数),直线 l 的方程为 x+3y6=0 .以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
    (1)、求曲线 C 和直线 l 的极坐标方程;
    (2)、若点 P(x,y) 在直线 l 上且 y>0 ,射线 OP 与曲线 C 相交于异于 O 点的点 Q ,求 |OP||OQ| 的最小值.
  • 23. 设函数 f(x)=3|x+1|+|2x1| 的最小值为 m

    (Ⅰ)求 m 的值;

    (Ⅱ)若 ab(0,+) ,证明: (1a+1+b2a)(1b+1+a2b)m2