四川省成都市2021届高三理数第二次诊断性检测试卷
试卷更新日期:2021-05-13 类型:高考模拟
一、单选题
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1. 设集合 , ,则 ( )A、 B、 C、 D、2. 已知i为虚数单位.则复数 的虚部为( )A、 B、 C、-1 D、13. 命题“ , ”的否定为( )A、 , B、 , C、 , D、 ,4. 袋子中有5个大小质地完全相同的球.其中3个红球和2个白球,从中不放回地依次随机摸出两个球.则摸出的两个球颜色相同的概率为( )A、 B、 C、 D、5. 已知 , ,则 的值为( )A、 B、 C、-3 D、36. 在 中,已知 , 为 边中点,点 在直线 上,且 ,则 边的长度为( )A、 B、 C、 D、67. 已知圆柱的两个底面的圆周在体积为 的球 的球面上,则该圆柱的侧面积的最大值为( )A、4π B、8π C、12π D、16π8. 已知 是曲线 上的动点,点 在直线 上运动,则当 取最小值时,点 的横坐标为( )A、 B、 C、 D、9. 已知数列 的前 项和 满足 ,记数列 的前 项和为 , .则使得 成立的 的最大值为( )A、17 B、18 C、19 D、2010. 某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量 与时间 之间的关系为 .如果前2小时消除了20%的污染物,则污染物减少50%大约需要的时间为(参考数据: , , )( )A、4h B、6h C、8h D、10h11. 已知 为抛物线 的焦点, 为抛物线上的动点,点 .则当 取最大值时, 的值为( )A、2 B、 C、 D、12. 已知四面体 的所有棱长均为 , , 分别为棱 , 的中点, 为棱 上异于 , 的动点.有下列结论:
①线段 的长度为1;②若点 为线段 上的动点,则无论点 与 如何运动,直线 与直线 都是异面直线;③ 的余弦值的取值范围为 ;④ 周长的最小值为 .其中正确结论的个数为( )
A、1 B、2 C、3 D、4二、填空题
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13. 已知函数 ,若 ,则 的值为 .14. 正项数列 满足 , .若 , ,则 的值为 .15. 设双曲线 的左,右焦点分别为 , ,以 为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为 ,直线 与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为 .若点 恰好为线段 的中点,则直线 的斜率的值为 .16. 已知定义在 上的函数 满足 ,且对任意的 , ,当 时,都有 成立.若 , , ,则 , , 的大小关系为 . (用符号“ ”连接)
三、解答题
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17. 的内角 , , 的对边分别为 , , ,已知 .(1)、求角 的大小;(2)、若 , ,求 的面积.18. 某种机械设备随着使用年限的增加,它的使用功能逐渐减退,使用价值逐年减少,通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用,称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限 (单位:年)与失效费 (单位:万元)的统计数据如下表所示:
使用年限 (单位:年)
1
2
3
4
5
6
7
失效费 (单位:万元)
2.90
3.30
3.60
4.40
4.80
5.20
5.90
(Ⅰ)由上表数据可知,可用线性回归模型拟合 与 的关系.请用相关系数加以说明;(精确到0.01)
(Ⅱ)求出 关于 的线性回归方程,并估算该种机械设备使用10年的失效费.
参考公式:相关系数 .
线性回归方程 中斜率和截距最小二乘估计计算公式: , .
参考数据: , , .
19. 如图①,在等腰三角形 中, , , , 满足 , .将 沿直线 折起到 的位置,连接 , ,得到如图②所示的四棱锥 ,点 满足 .(Ⅰ)证明: 平面 ;
(Ⅱ)当 时,求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
20. 已知椭圆 : 经过点 ,其长半轴长为2.(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设经过点 的直线 与椭圆 相交于 , 两点,点 关于 轴的对称点为 ,直线 与 轴相交于点 ,求△ 的面积 的取值范围.