四川省成都市2021届高三理数第二次诊断性检测试卷

试卷更新日期：2021-05-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | \lg x < 1}$ ， $B = {x | x > 3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(3, 10)$ C、 $(- \infty, + \infty)$ D、 $(3, + \infty)$

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2. 已知i为虚数单位．则复数 $z = (1 + i) (2 - i)$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、-1 D、1

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3. 命题“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} + x + 1 > 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x_{0} \leq 0$ ， $x_{0}^{2} + x_{0} + 1 \leq 0$ B、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} + x + 1 \leq 0$ C、 $\exists x_{0} > 0$ ， $x_{0}^{2} + x_{0} + 1 \leq 0$ D、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} + x + 1 \leq 0$

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4. 袋子中有5个大小质地完全相同的球．其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球．则摸出的两个球颜色相同的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 已知 $\sin (α + β) = \frac{2}{3}$ ， $\sin (α - β) = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{\tan α}{\tan β}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、-3 D、3

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6. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A C$ ， $D$ 为 $B C$ 边中点，点 $O$ 在直线 $A D$ 上，且 $\vec{B C} \cdot \vec{B O} = 3$ ，则 $B C$ 边的长度为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、6

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7. 已知圆柱的两个底面的圆周在体积为 $\frac{32 π}{3}$ 的球 $O$ 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（）

A、4π B、8π C、12π D、16π

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8. 已知 $P$ 是曲线 $y = \sin x + \cos x (x \in [0 ， \frac{3 π}{4}])$ 上的动点，点 $Q$ 在直线 $x + y - 6 = 0$ 上运动，则当 $| P Q |$ 取最小值时，点 $P$ 的横坐标为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2π}{3}$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = n^{2}$ ，记数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ．则使得 $T_{n} < \frac{20}{41}$ 成立的 $n$ 的最大值为（）

A、17 B、18 C、19 D、20

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10. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 $P (mg / L)$ 与时间 $t (h)$ 之间的关系为 $P = P_{0} e^{- k t}$ ．如果前2小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%大约需要的时间为（参考数据： $\ln 2 \approx 0.69$ ， $\ln 3 \approx 1.10$ ， $\ln 5 \approx 1.61$ ）（）

A、4h B、6h C、8h D、10h

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11. 已知 $F$ 为抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点， $A$ 为抛物线上的动点，点 $B (- 1, 0)$ ．则当 $\frac{2 | A B |}{2 | A F | + 1}$ 取最大值时， $| A B |$ 的值为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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12. 已知四面体 $A B C D$ 的所有棱长均为 $\sqrt{2}$ ， $M$ ， $N$ 分别为棱 $A D$ ， $B C$ 的中点， $F$ 为棱 $A B$ 上异于 $A$ ， $B$ 的动点．有下列结论：
①线段 $M N$ 的长度为1；②若点 $G$ 为线段 $M N$ 上的动点，则无论点 $F$ 与 $G$ 如何运动，直线 $F G$ 与直线 $C D$ 都是异面直线；③ $∠ M F N$ 的余弦值的取值范围为 $[0 ， \frac{\sqrt{5}}{5})$ ；④ $△ F M N$ 周长的最小值为 $\sqrt{2} + 1$ ．其中正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - x, x < 1 \\ 2^{x} + 1, x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (a) = 2$ ，则 $a$ 的值为．

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14. 正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} a_{n + 2} = a_{n + 1}^{2}$ ， $n \in N^{*}$ ．若 $a_{5} = \frac{1}{9}$ ， $a_{2} a_{4} = 1$ ，则 $a_{2}$ 的值为．

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15. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为 $P$ ，直线 $P F_{1}$ 与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为 $Q$ ．若点 $Q$ 恰好为线段 $P F_{1}$ 的中点，则直线 $P F_{1}$ 的斜率的值为．

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16. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，且对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [1, + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) < x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1})$ 成立．若 $a = f (\ln 2)$ ， $b = f (\log_{0.2} 0.03)$ ， $c = f (2^{0.7})$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为．（用符号“ $<$ ”连接）

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(\sqrt{2} b - a) \cos C = c \cos A$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{2}$ ， $c (a \cos B - b \cos A) = b^{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限

x

（单位：年）与失效费

y

（单位：万元）的统计数据如下表所示：

使用年限 $x$ （单位：年）	1	2	3	4	5	6	7
失效费 $y$ （单位：万元）	2.90	3.30	3.60	4.40	4.80	5.20	5.90

（Ⅰ）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系．请用相关系数加以说明；（精确到0.01）

（Ⅱ）求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．

参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．

线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距最小二乘估计计算公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 14.00$ ， $\sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 7.08$ ， $\sqrt{198.24} \approx 14.10$ ．

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19. 如图①，在等腰三角形 $P B C$ 中， $P B = P C = 3 \sqrt{5}$ ， $B C = 6$ ， $D$ ， $E$ 满足 $\vec{B D} = 2 \vec{D P}$ ， $\vec{C E} = 2 \vec{E P}$ ．将 $△ P D E$ 沿直线 $D E$ 折起到 $△ A D E$ 的位置，连接 $A B$ ， $A C$ ，得到如图②所示的四棱锥 $A - B C E D$ ，点 $F$ 满足 $\vec{B F} = 2 \vec{F A}$ ．

（Ⅰ）证明： $D F //$ 平面 $A C E$ ；

（Ⅱ）当 $A B = \sqrt{29}$ 时，求平面 $A C E$ 与平面 $D E F$ 所成锐二面角的余弦值．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $A (1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，其长半轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设经过点 $B (- 1, 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $D$ ， $E$ 两点，点 $E$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $F$ ，直线 $D F$ 与 $x$ 轴相交于点 $G$ ，求△ $D E G$ 的面积 $S$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{x} - (a - 1) \ln x - 2$ ，其中 $a \in R$ ．
（Ⅰ）若 $f (x)$ 存在唯一极值点，且极值为0，求 $a$ 的值；

（Ⅱ）讨论 $f (x)$ 在区间 $[1 ， e^{2}]$ 上的零点个数．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \cos φ \\ y = \sin φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数），直线 $l$ 的方程为 $x + \sqrt{3} y - 6 = 0$ ．以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求曲线 $C$ 和直线 $l$ 的极坐标方程；

(2)、若点 $P (x, y)$ 在直线 $l$ 上且 $y > 0$ ，射线 $O P$ 与曲线 $C$ 相交于异于 $O$ 点的点 $Q$ ，求 $\frac{| O P |}{| O Q |}$ 的最小值．

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23. 设函数 $f (x) = 3 | x + 1 | + | 2 x - 1 |$ 的最小值为 $m$ ．
（Ⅰ）求 $m$ 的值；

（Ⅱ）若 $a$ ， $b \in (0, + \infty)$ ，证明： $(\frac{1}{a} + 1 + \frac{b^{2}}{a}) (\frac{1}{b} + 1 + \frac{a^{2}}{b}) \geq m^{2}$ ．

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