陕西省宝鸡市2021届高三下学期理数高考模拟检测试卷（三）

试卷更新日期：2021-05-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1, a}$ ， $B = {- 1, 1, a^{2}}$ ，若A⫋B，则a=（）

A、0 B、1 C、-1 D、0或1

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2. 二项式 ${(x - \frac{1}{x})}^{4}$ 的展开式中，常数项为（）

A、-4 B、4 C、-6 D、6

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3. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + y - 3 \leq 0 \\ 2 x - y \geq 0 \\ y \geq 1 \end{array}$ ，则目标函数 $z = 4 x + 3 y$ 的最大值为（）

A、5 B、10 C、11 D、12

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4. 托马斯·贝叶斯(ThomasBayes)在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式： $P (A | B) = \frac{P (B | A) \cdot P (A)}{P (B | A) \cdot P (A) + P (B | A^{c}) \cdot P (A^{c})}$ ，这个公式被称为贝叶斯公式(贝叶斯定理)，其中 $P (B | A) \cdot P (A) + P (B | A^{c}) \cdot P (A^{c})$ 称为 $B$ 的全概率.这个定理在实际生活中有着重要的应用价值.假设某种疾病在所有人群中的感染率是0.1%，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为99%，即已知患病情况下，99%的可能性可以检查出阳性，正常人 $99 %$ 的可能性检查为正常.如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（）

A、0.1% B、8% C、9% D、99%

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5. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线被圆 $x^{2} + y^{2} - 10 y = 0$ 截得的线段长等于8，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、3 D、 $\frac{5}{3}$

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6. 执行如图所示程序框图，则输出的 $s =$ （）

A、50l B、642 C、645 D、896

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7. 若函数 $f (x) = \ln (x - a) + b$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为 $y = x$ ，则满足 $0 \leq f (x - 1) \leq 1$ 的 $x$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{e} ， e]$ B、 $[1 ， e]$ C、 $[\frac{1}{e} ， 1]$ D、 $[2 ， 1 + e]$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足：对任意 $m$ 、 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{m} - a_{n} = 2 (n - m)$ 成立，且前 $8$ 项和为 $0$ ．则该数列的首项 $a_{1} =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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9. 函数 $y = b \cdot a^{x}$ 与 $y = \log_{a} (b x)$ 的图像在同一坐标系中可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知圆锥的顶点为 $P$ ，高和底面的半径之比为 $\sqrt{2} ： 1$ ，设 $A B$ 是底面的一条直径， $C$ 为底面圆周上一点，且 $∠ B A C = \frac{π}{6}$ ，则异面直线 $P B$ 与 $A C$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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11. 已知 $\frac{1 - \tan θ}{1 + \tan θ} + \frac{1 + \tan θ}{1 - \tan θ} = 4$ ， $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\cos 2 θ =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. 切比雷夫在用直线逼近曲线的研究中定义偏差 $E :$ 对任意的 $x \in [m, n]$ ，函数 $y = | f (x) - (a x + b) |$ 的最大值为E ，即 $E = \max_{m \leq x \leq n} | f (x) - (a x + b) |$ ，把使E取得最小值时的直线 $y = a x + b$ 叫切比雪夫直线，已知 $f (x) = x^{2}, x \in [- 1, 2]$ ，有同学估算出了切比雪夫直线中x的系数 $a = 1$ ，在这个前提下，b的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、1 C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{11}{8}$

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二、填空题

13. $\frac{{(1 - i)}^{3}}{{(1 + i)}^{2}} =$ ．

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14. 已知 $M (t, 0)$ 为抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 对称轴上一点，且过该点的直线与抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点，则直线 $O A$ ， $O B$ 斜率乘积为.

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15. 曲线 $y = \sqrt{x}$ 及 $y = x^{2} (x \geq 0)$ 围成的平面区域 $Ω$ 如图所示，向正方形 $O A C B$ 中随机投入一个质点，则质点落在阴影部分区域的概率为.

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16. 已知 $A (- 2, 0)$ ， $△ A B C$ 的两条内角平分线 $B E$ ， $C F$ 所在的直线方程分别为y=-x+1， $x = 0$ ，则 $△ A B C$ 的内切圆圆心 $I$ 的坐标为，圆 $I$ 的方程为.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} x - 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 1$ ， $x \in [0 ， π]$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的递增区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中，内角 $B$ 满足 $f (B) = - 2$ ，且 $B C = 4$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 8$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = 5$ ， $B C = 2 A B = 4$ ， $M$ 为 $P C$ 的中点.

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若 $A M ⊥ P C$ ，求二面角 $B - A M - C$ 的余弦值.

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19. 某地处偏远山区的古镇约有人口5000人，为了响应国家号召，镇政府多项并举，鼓励青壮劳力外出务工的同时发展以旅游业为龙头的乡村特色经济，到2020年底一举脱贫.据不完全统计该镇约有 $20 %$ 的人外出务工.下图是根据2020年扶贫工作期间随机调查本地100名在外务工人员的年收入(单位：千元)数据绘制的频率分布直方图.

(1)、根据样本数据怙计该镇外出务工人员的创收总额(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)、假设该镇外出务工人员年收入服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其分布密度函数为 $f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}}$ ，其中 $μ$ 为样本平均值.若 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2 π}}{10 π}$ ，求 $σ$ 的值；

(3)、完成脱贫任务后，古镇党政班子并不懈怠，决心带领全镇人民在奔小康道路上再上一个新台阶，出台了多项优惠政策，鼓励本地在外人员返乡创业.调查显示务工收入在 $[μ + σ ， μ + 2 σ]$ 和 $[μ + 2 σ ， μ + 3 σ]$ 的人群愿意返乡创业的人数比例分别为15%和20%.从样本人群收入在 $[μ + σ ， μ + 3 σ]$ 的人中随机抽取3人进行调查，设 $X$ 为愿意返乡创业的人数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

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20. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - 2 \ln x$ ，求证：

(1)、函数 $f (x)$ 有且仅有一个零点；

(2)、 $\frac{3}{1 \cdot 2} + \frac{5}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{2 n + 1}{n (n + 1)} > 2 \ln (n + 1) (n \in N^{*})$ .

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21. 线段 $A B$ 的长等于3，两端点 $A$ ， $B$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上滑动，点 $P$ 在线段 $A B$ 上，且 $\vec{B P} = 2 \vec{P A}$ ，点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知 $Q (t, 0)$ 为曲线 $C$ 外一动点，过点 $Q$ 作直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 与曲线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点， $l_{2}$ 与曲线 $C$ 交于 $S$ ， $T$ 两点，已知 $l_{1}$ 的斜率为 $k_{1}$ ， $l_{2}$ 的斜率为 $k_{2}$ ，且 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 均为定值，求证： $\frac{| Q M | \cdot | Q N |}{| Q S | \cdot | Q T |}$ 为定值.

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22. 在平面直角坐标系中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 \cos α \\ y = \sqrt{3} \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\sqrt{2} ρ \cos (θ + \frac{π}{4}) = 1$ ．

(1)、写出曲线 $C_{1}$ 的普通方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (0 ， - 1)$ ，曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 相交于 $A ， B$ 两点，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ ．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | - m, m \in R$ ，且 $f (x + 1) ⩽ 0$ 的解集为 ${x ∣ - 1 \leq x ⩽ 1}$ ．

(1)、求m的值；

(2)、若 $a, b, c$ 都为正数，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} + \frac{1}{4 c} = m$ ，证明： $a + 2 b + 4 c \geq 9$ ．

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