陕西省宝鸡市2021届高三下学期理数二模试卷

试卷更新日期：2021-05-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {θ | \cos θ < \sin θ}$ ， $B = {θ | \tan θ < \sin θ, \frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{5 π}{4}}$ ，那么 $A \cap B$ 等于（）

A、 $(\frac{π}{2}, π)$ B、 $(\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$ C、 $(π, \frac{3 π}{2})$ D、 $(\frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4})$

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3. 蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率 $x$ （每分钟鸣叫的次数）与气温 $y$ （单位：℃）存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据，建立了 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = 0.25 x + k$ ，则下列说法不正确的是（）

$x$ （次数/分钟）

20

30

40

50

60

$y$ （℃）

25

27.5

29

32.5

36

A、 $k$ 的值是20 B、变量 $x$ ， $y$ 呈正相关关系 C、若 $x$ 的值增加1，则 $y$ 的值约增加0.25 D、当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预报值为33.5℃

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4. 为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异，召集了男女志愿者各300名，让他们同时完成多个任务.以下4个结论中，对志愿者完成任务所需时间分布图表理解正确的是（）
①总体看女性处理多任务平均用时更短；②所有女性处理多任务的能力都要优于男性；③男性的时间分布更接近正态分布；④女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数，且男性处理多任务的用时绝对值大.

A、①④ B、②③ C、①③ D、②④

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5. 下列函数中，值域为 $[0 ， + \infty)$ 且在定义域上为单调递增函数的是（）

A、 $y = \ln (x^{2} + 1)$ B、 $y = \lg (x^{0.5} + 1)$ C、 $y = e^{x} + e^{- x} - 2$ D、以上都正确

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6. 已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 点倾斜角为 $60 °$ 的直线与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的右侧），则 $\frac{| A F |}{| B F |} =$ （）

A、9 B、1 C、 $7 + 4 \sqrt{3}$ D、3

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7. 某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（）

A、 $12 π + 8 \sqrt{3}$ B、 $6 π + 6 \sqrt{3}$ C、 $6 π + 8 \sqrt{3}$ D、 $12 π + 6 \sqrt{3}$

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8. 四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 60 °$ ， $A D = 3$ ， $D C = 5$ ，则对角线 $B D$ 的长为（）

A、 $\sqrt{19}$ B、 $\frac{3 \sqrt{34}}{2}$ C、7 D、 $\frac{14 \sqrt{3}}{3}$

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9. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x - \sqrt{3} (\sin^{2} x - \cos^{2} x)$ ，判断下列给出的四个命题，其中错误的命题有（）个
①对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (\frac{2 π}{3} - x) = - f (x)$ ；②将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，得到偶函数 $g (x)$ ；③函数 $y = f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{12}, \frac{7 π}{12})$ 上是减函数；④“函数 $y = f (x)$ 取得最大值”的一个充分条件是“ $x = \frac{π}{12}$ ”

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 已知圆 $M ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $N ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别过圆心 $M$ ， $N$ ，且 $l_{1}$ 与圆 $M$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $l_{2}$ 与圆 $N$ 相交于 $C$ ， $D$ 两点，点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上任意一点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P C} \cdot \vec{P D}$ 的最小值为（）

A、7 B、9 C、6 D、8

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11. 已知奇函数 $y = f (x) (x \in R)$ ，当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$ ，且对任意 $x \in R$ 都有 $f (x + 2) = - f (x)$ 成立.若方程 $f (x) - a x = 0 (a > 0)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 仅有2个不相等的实根，则 $a$ 的值为（）

A、 $a \in (0 ， \frac{\sqrt{6}}{12}]$ B、 $a = \frac{\sqrt{13}}{13}$ C、 $a = \frac{1}{5}$ D、 $a = \frac{\sqrt{6}}{12}$

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12. 如图是一个底面半径和高都是1的装满沙子的圆锥形沙漏，从计时开始，流出沙子的体积 $V$ 是沙面下降高度 $x$ 的函数 $V = f (x)$ ，若正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 1$ ，则 $f (a) + f (b)$ 的最大值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{4 π}{9}$ C、 $\frac{7 π}{12}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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二、填空题

13. 中国古代四大发明造纸术、印刷术、指南针、火药对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用；2017年月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了“中国的新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购.若从这8个发明中任取两个发明，则只有一个是新四大发明的概率为.

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14. $(x^{2} + 2) {(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为．

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15. 把四个半径为1的小球装入一个大球内，则大球半径的最小值为.

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16. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点， $P$ 是双曲线上在第一象限内的点，直线 $P O$ 、 $P F_{2}$ 分别交双曲线 $C$ 左、右支于另一点 $M$ 、 $N$ ， $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，且 $∠ M F_{2} N = 60 °$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为；渐近线方程为.

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d = 2$ ，且 $a_{1} + a_{2} = 6$ ，数列 ${b_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列，且满足 $b_{1} = \frac{1}{2}$ ， $b_{3} b_{5} = \frac{1}{256}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{1}{2} a_{n} b_{n}$ ，其前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .求证： $T_{n} < 2$ .

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18. 新型冠状病毒的传染性是非常强的，而且可以通过接触传播或者是呼吸道飞沫传播，感染人群年龄大多数是40岁以上的人群.该病毒进入人体后有潜伏期，并且潜伏期越长，感染他人的可能性越高，现对100个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期中位数为5，平均数为7.21，方差为5.08.如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”.按照年龄统计样本得到下面的列联表：

长潜伏期

非长潜伏期

40岁以上

15

55

40岁及以下

10

20

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

$K^{2} \geq k$

0.1

0.05

$k$

2.706

3.841

若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < Z < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < Z < μ + 3 σ) = 0.9974$ ， $\sqrt{5.08} \approx 2.25$ .

(1)、能否有90%以上的把握认为“长潜伏期”与年龄有关；

(2)、假设潜伏期 $Z$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数， $σ^{2}$ 近似为样本方差，现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；

(3)、以题目中的样本频率估计概率，并计算4个病例中有 $X (X \in N *)$ 个进入“长潜伏期”的期望与方差.

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19. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $P D = D C = B C = 1$ ， $A B ∥ D C$ ， $∠ B C D = 90 °$ ， $F$ 为 $A B$ 上的点且 $A F = \frac{1}{2}$ ，若 $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $E F ∥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $E F$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点G是椭圆上一点， $△ G F_{1} F_{2}$ 的周长为 $6 + 4 \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、直线 $l : y = k x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，当 $k$ 为何值， ${| O A |}^{2} + {| O B |}^{2}$ 恒为定值，并求此时 $△ O A B$ 面积的最大值.

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21. 已知 $f (x) = x \ln x$ ， $g (x) = {(x - 2)}^{2} e^{x} - \frac{1}{e}$

(1)、求函数 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、已知 $x \geq 1$ 时，不等式 $a x - 2 \leq (x^{2} - 4 x + 5) f (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的方程为 ${\begin{array}{l} x = 4 \cos θ + \cos α \\ y = 3 \sin θ + \sin α \end{array}$ ( $θ \in R$ ， $α$ 为参数).

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程并说明曲线 $C_{1}$ 的形状.

(2)、以 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ \sin (θ - \frac{π}{4}) = 0$ ，求曲线 $C_{1}$ 的对称中心到曲线 $C_{2}$ 的距离的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 4 | + | x + 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 8$ 的解集；

(2)、设 $a$ 、 $b$ 、 $c \in R_{+}$ ，且 $a + b + c = 1$ .证明： $\frac{a^{3}}{b c} + \frac{b^{3}}{a c} + \frac{c^{3}}{a b} \geq 1$ .

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$x$ （次数/分钟）	20	30	40	50	60
$y$ （℃）	25	27.5	29	32.5	36

	长潜伏期	非长潜伏期
40岁以上	15	55
40岁及以下	10	20

$K^{2} \geq k$	0.1	0.05
$k$	2.706	3.841