陕西省2021届高三下学期理数教学质量检测测评试卷（三）

试卷更新日期：2021-05-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ 2 x^{2} - 7 x - 4 \leq 0}$ ， $B = {x | | x | < 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2 ， 3)$ B、 $(- 2 ， 3]$ C、 $(- \frac{1}{2} ， 2)$ D、 $[- \frac{1}{2} ， 3)$

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2. 复数 $z$ 满足 $z = {(\frac{\sqrt{3} + i}{1 - \sqrt{3} i})}^{100} + \sqrt{3} i$ ，则 $| z | =$ （）

A、5 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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3. 已知 $a = 2^{\log_{3} 2}$ ， $b = 2^{\log_{5} 2}$ ， $c = {(\frac{1}{2})}^{- 1.1}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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4. 二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{3}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x$ 的系数为（）

A、-15 B、-3 C、3 D、15

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5. 函数 $f (x) = (x^{3} - 3 x) \cdot \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 曲线 $y = \frac{\sin x}{e^{x}} + 1 (x \geq 0)$ 的一条切线的斜率为1，则该切线的方程为（）

A、 $y = x - 1$ B、 $y = x$ C、 $y = x + 1$ D、 $y = x + 2$

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7. 某省今年开始实行新高考改革跟以往高考最大的不同就是取消了文理分科，除了语文、数学、外语三门科目必选外，再从物理、化学、生物、政治、地理、历史这6个科目中任选3门作为选考科目，甲和乙分别从6科中任选3科，若他俩所选科目都有物理．其余2科均不同，则甲不选历史，且乙不选化学的概率是（）

A、 $\frac{3}{200}$ B、 $\frac{3}{100}$ C、 $\frac{27}{400}$ D、 $\frac{9}{100}$

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8. 如图所示的程序输出的结果为 $\frac{1022}{1023}$ ，则判断框中应填（）

A、 $i \geq 10 ?$ B、 $i \leq 10 ?$ C、 $i \geq 9 ?$ D、 $i \geq 11 ?$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $2 S_{n} - n a_{n} = 3 n (n \in N^{*})$ ，且 $S_{3} = 15$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、100 B、110 C、120 D、130

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10. 筒车是我们古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图所示，已知筒车的半径为 $4 m$ ，筒车转轮的中心 $O$ 到水面的距离为 $2 m$ ，筒车沿逆时针方向以角速度 $ω (ω > 0)$ 转动，规定：盛水筒 $M$ 对应的点 $P$ 从水中浮现（即 $P_{0}$ 时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心 $O$ 为坐标原点，过点 $O$ 的水平直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系 $x O y$ ，设盛水筒 $M$ 从点 $P_{0}$ 运动到点 $P$ 时经过的时间为 $t$ （单位： $s$ ），且此时点 $P$ 距离水面的高度为 $h$ （单位：米），筒车经过 $6 s$ 第一次到达最高点，则下列叙述正确的是（）

A、当 $t = 16 s$ 时，点 $P$ 与点 $P_{0}$ 重合 B、当 $t \in [51 ， 65]$ 时， $h$ 一直在增大 C、当 $t \in (0 ， 50)$ 时，盛水筒有 $5$ 次经过水平面 D、当 $t = 50$ 时，点 $P$ 在最低点

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11. 已知点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P$ 是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点 $P$ 与 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心 $I$ 的直线交 $x$ 轴于点 $Q$ ，且 $\vec{P I} = 2 \vec{I Q}$ ，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{e^{x}}{x} - e (x \geq 1) \\ a x^{2} + 8 x - 6 (x < 1) \end{array}$ 是定义在 $R$ 上的单调递增函数， $g (x) = x^{e - 1} (a \ln x + 1) + x^{e} - e$ ，当 $x \geq 1$ 时， $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 4 ， 0)$ B、 $[- 4 ， - 2]$ C、 $[- 4 ， - e]$ D、 $[- e ， - 2]$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，则 $| 2 \vec{a} + 3 \vec{b} | =$ .

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14. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q = 2$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，若 $T_{3} = \frac{1}{512}$ ，则 $T_{9} =$ ．

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15. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线的右支交于第一象限内的一点 $P$ ，若 $G (\frac{b}{3}, \frac{a}{3})$ 为 $△ F_{1} P F_{2}$ 的重心，则该双曲线的离心率为.

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16. 如图圆锥内的球 $O$ 与圆锥的侧面与底面都相切，且球的半径为 $1$ ，则圆锥侧面积的最小值为．

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三、解答题

17. 已知等腰 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $b = c$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点．

(1)、若 $\cos ∠ B D C = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ， $\sin ∠ A B D = \frac{\sqrt{14}}{8}$ ， $C D = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S$ 等于 $2$ ，求 $B D$ 的最小值．

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18. 如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $A D ⊥ B E$ ， $A D // B C$ ， $B C = 2 A D$ ， $E A = A B$ ， $B C = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ A C B = 45^{°}$ ．

(1)、证明；平面 $B C E ⊥$ 平面 $A B E$ ；

(2)、若 $E A ⊥ C D$ ，点 $F$ 在 $E C$ 上，且 $\vec{E F} = \frac{1}{2} \vec{E C}$ ，求二面角 $A - B F - D$ 的大小．

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19. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ，点 $A (2 ， 1)$ 是抛物线内一点，若该抛物线上存在点 $E$ ，使得 $| A E | + | E F |$ 有最小值3.
（Ⅰ）求抛物线 $C$ 的方程；

（Ⅱ）设直线 $l ： 2 x - y + 4 = 0$ ，点 $B$ 是 $l$ 与 $y$ 轴的交点，过点 $A$ 作与 $l$ 平行的直线 $l_{1}$ ，过点 $A$ 的动直线 $l_{2}$ 与抛物线 $C$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，直线 $P B$ ， $Q B$ 分别交直线 $l_{1}$ 于点 $M$ ， $N$ ，证明： $| A M | = | A N |$ .

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20. 甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏，活动的规则为：甲、乙、丙三人先分别坐在圆桌的 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，如果点数是奇数，则按逆时针选择乙，如果是偶数，则按顺时针选丙，下一轮由上一轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竟答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺时针选对手，已知每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ 且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获胜场数达到 $2$ 场，游戏结束，该选手为晋级选手．

(1)、求比赛进行了3场且甲晋级的概率；

(2)、当比赛进行了 $3$ 场后结束，记甲获胜的场数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望．

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21. 已知函数 $f (x) = (1 + x) \ln (1 + x) - a x^{2} - (2 a + 1) x$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在定义域内是减函数，求 $a$ 的最小值；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点分别是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > \frac{1}{a} - 2$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程是 ${\begin{array}{l} x = \frac{4 k}{1 + k^{2}}, \\ y = \frac{\sqrt{3} (1 - k^{2})}{1 + k^{2}} \end{array}$ （ $k$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $2 ρ \cos (θ + \frac{π}{3}) = 1$ .
（Ⅰ）曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点 $A (1, 0)$ ，若 $l$ 和 $C$ 的交点为 $M$ ， $N$ ，求 $| A M | \cdot | A N |$ .

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23. 已知函数 $f (x) = 2 x + 1 + a | x - 1 |$ .
（Ⅰ）当 $a = 3$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值 $m$ ；

（Ⅱ）当 $x \in (- 1 ， 1)$ 时，不等式 $f (x) > x^{2} + 2$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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