陕西省2021届高三下学期理数教学质量检测试卷（二）

试卷更新日期：2021-05-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ \frac{1}{2} ⩽ 2^{x} < 16}, B = {x ∣ y = \log_{2} (9 - x^{2})}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 3)$ B、 $(- 3, 3)$ C、 $(- 3, 4)$ D、 $[- 1, 4)$

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2. 复数 $z = \frac{2}{1 + 2 i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 屠格涅夫是俄罗斯杰出的现实主义作家，其作品《屠格涅夫文集》共六卷，若从中任取3卷，则取出的3卷相连的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{4}{15}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{1}{5}$

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4. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ .则向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 的夹角等于（）

A、30° B、45° C、60° D、150°

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5. 若双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的一个焦点为 $(- 3 ， 0)$ ，则 $m =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $8$ C、 $9$ D、 $64$

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6. 如图是函数 $y = A \sin (ω x + ϕ) (x \in R ， A > 0 ， ω > 0 ， 0 < ϕ < \frac{π}{2})$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{5 π}{6}]$ 上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将 $y = \sin x (x \in R)$ 的图象上的所有的点（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变 B、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变 D、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

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7. 已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $\lg a = 10^{b} = \frac{1}{c}$ ，则下列关系式中不可能成立的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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8. 记单调递增的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} + a_{4} = 10$ ， $a_{2} a_{3} a_{4} = 64$ ，则（）

A、 $S_{n + 1} - S_{n} = 2^{n + 1}$ B、 $a_{n} = 2^{n}$ C、 $S_{n} = 2^{n} - 1$ D、 $S_{n} = 2^{n - 1} - 1$

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9. 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）

A、12π B、 $4 \sqrt{3} π$ C、3π D、 $12 \sqrt{3} π$

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10. 已知动点 $P (x ， y)$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上，若 $A$ 点坐标为 $(3 ， 0)$ ， $| \vec{A M} | = 1$ ，且 $\vec{P M} \cdot \vec{A M} = 0$ ，则 $| \vec{P M} |$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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11. 埃及著名的吉沙 $(G i z a)$ 大金字塔，它的形状是正四棱锥.大金字塔内有着奇妙的走道设计，以及神秘的密室，已知它的高度的2倍的平方等于它的侧面积.则高的平方与底面棱长的平方的比值为（）

A、 $\frac{1 - \sqrt{5}}{8}$ B、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{8}$ C、 $\frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

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12. 若 $x$ 是三角形的最小内角，则函数 $y = \sin x + \cos x + \sin x \cos x$ 的最大值是（）

A、-1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \frac{1}{2} + \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{2} + \sqrt{2}$

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二、填空题

13. 某产品的宣传费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下表所示：

宣传费用x(万元)

2

3

4

5

销售额y(万元)

24

30

42

50

根据上表可得回归方程 $\hat{y} = 9 x + a$ ，则宣传费用为6万元时，销售额约为万元.

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14. 已知定义在R上的奇函数 $y = f (x)$ 满足 $f (x + 8) + f (x) = 0$ ，且 $f (5) = 5$ ，则 $f (2019) + f (2024) =$ .

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15. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + 2 b = 2$ ，若 $2^{a} + 4^{b} \geq m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 1 ， a_{n} - a_{n - 1} = {(- 1)}^{n} \cdot n^{2} (n ⩾ 2 ， n \in N^{*})$ ，则 $a_{100} =$ .

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 所对的边，若 $(2 b - \sqrt{3} c) \cos A = \sqrt{3} a \cos C$ .

(1)、求A；

(2)、若 $a = \sqrt{3} - 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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18. 美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪70元，每单抽成1元；百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司个随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：

（Ⅰ）求百度外卖公司的“骑手”一日工资 $y$ （单位：元）与送餐单数 $n$ 的函数关系；

（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：

①记百度外卖的“骑手”日工资为 $X$ （单位：元），求 $X$ 的分布列和数学期望；

②小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是直角梯形， $A B ⊥ A D ， A B / / C D$ ， $P C ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = 2 A D = 2 C D = 2 \sqrt{2}$ ， $E$ 是 $P B$ 的中点.

(1)、求证： $P A ⊥ C B$ ；

(2)、若三棱锥 $D - A C E$ 的体积为 $1$ ，求二面角 $P - A C - E$ 的正弦值.

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20. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，过点 $(- 1, 0)$ 的直线与抛物线 $C$ 相切，设第一象限的切点为 $P$ .
（Ⅰ）证明：点 $P$ 在 $x$ 轴上的射影为焦点 $F$ ；

（Ⅱ）若过点 $(2, 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交于两点 $A, B$ ，圆 $M$ 是以线段 $A B$ 为直径的圆且过点 $P$ ，求直线 $l$ 与圆 $M$ 的方程.

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21. 设函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} + a (2 e - e^{x})$ ，

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 图象在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若不等式 $f (x) > 0$ 对 $x \in (2 ， + \infty)$ 恒成立，求整数 $a$ 的最大值.

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22. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合.若曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 + 2 \cos α, \\ y = 2 \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），直线l的极坐标方程为 $\sqrt{2} ρ \sin (θ - \frac{π}{4}) = 1$ .

(1)、将曲线C的参数方程化为极坐标方程；

(2)、由直线l上一点向曲线C引切线，求切线长的最小值.

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23. 设函数 $f (x) = | x + 1 | + | x - a | (a > 0)$

(1)、若 $a = 2$ 时，解不等式 $f (x) \leq 4$ ；

(2)、若不等式 $f (x) \leq 4$ 对一切 $x \in [a, 2]$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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宣传费用x(万元)	2	3	4	5
销售额y(万元)	24	30	42	50