湖南省益阳市2021届高三下学期数学4月高考模拟试卷

试卷更新日期：2021-05-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合A={x∈N|0<x<4}，B={x|x²﹣2x≤0}，则A∩B=（）

A、[0，2] B、[1，2] C、{1，2} D、{0，1，2}

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2. 已知复数z=a+bi(a，b∈R)，若z(2+i)=5i，则在复平面内点P(a，b)位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $α = \frac{π}{4}$ ， $a = \sin α, b = \log_{2} \sin α, c = {(\sin α)}^{- 1}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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4. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a_n+1=a_n+2ⁿ^﹣1 ， a₁=2，若S_n≥128，则n的最小值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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5. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y - 1 ⩽ 0 \\ 2 x - y + 1 ⩾ 0 \\ x + y - 2 ⩽ 0 \end{array}$ ，则z= $\frac{1}{2}$ x+y的最大值为（）

A、 $\frac{7}{6}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{11}{6}$ D、4

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6. 我们要检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示(已隐去数据)，其部分数据如表：

小数记录 $x$	0.1	0.12	0.15	0.2	…	？	…	1.0	1.2	1.5	2.0
五分记录 $y$	4.0	4.1	4.2	4.3	…	4.7	…	5.0	5.1	5.2	5.3

现有如下函数模型：① $y = 5 + \lg x$ ，② $y = 5 + \frac{1}{10} \lg \frac{1}{x}$ ， $x$ 表示小数记录数据， $y$ 表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为（）(附： $10^{- 0.3} = 0.5 ， 5^{- 0.22} = 0.7 ， 10^{- 0.1} = 0.8$ )

A、0.3 B、0.5 C、0.7 D、0.8

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7. 如图所示，边长为2的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧 $\overset{⌢}{B C}$ ，点P在圆弧上运动，则 $\vec{A B}$ • $\vec{A P}$ 的取值范围为（）

A、[2，3 $\sqrt{3}$ ] B、[4，3 $\sqrt{3}$ ] C、[2，4] D、[2，5]

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8. 已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，当x>0时，f(x)+x $f^{'} (x)$ >0，且 $f (1) = 0$ ，则不等式(x²﹣2x)f(x)<0的解集为（）

A、(﹣∞，﹣1)∪(1，2) B、(﹣1，1) C、(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞) D、(﹣1，0)∪(0，1)

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二、多选题

9. 某大型超市因为开车前往购物的人员较多，因此超市在制定停车收费方案时，需要考虑顾客停车时间的长短.现随机采集了200个停车时间的数据(单位： $min$ )，其频率分布直方图如图.超市决定对停车时间在40分钟及以内的顾客免收停车费(同一组数据用该区间的中点值代替)，则下列说法正确的是（）

A、免收停车费的顾客约占总数的20% B、免收停车费的顾客约占总数的25% C、顾客的平均停车时间约为58 $min$ D、停车时间达到或超过60 $min$ 的顾客约占总数的50%

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10. 如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点E为A₁B₁的中点，则下列说法正确的是（）

A、DE与CC₁为异面直线 B、DE与平面BCC₁B₁所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、过D､C､E三点的平面截正方体所得两部分的体积相等 D、线段DE在底面ABCD的射影长为 $\sqrt{2}$

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11. 已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A(x₁ ， y₁)，B(x₂ ， y₂)两点，且A，B在其准线上的射影分别为A₁ ， B₁ ，则下列结论正确的是（）

A、若直线l⊥x轴，则|AB|=2 B、 $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{1}{2}$ C、y₁•y₂=-4 D、∠A₁FB₁= $\frac{π}{2}$

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12. 已知函数f(x)=|sinx|﹣|sin( $\frac{π}{2}$ ﹣x)|(π=3.14159……)，则下列说法中正确的是（）

A、π是f(x)的周期 B、f(x)的值域为[﹣ $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{2}$ ] C、f(x)在( $\frac{13 π}{3}$ ，5π)内单调递减 D、f(x)在[﹣2021，2021]中的零点个数不超过2574个

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三、填空题

13. 如图所示，由红､黄､蓝､白四种发光元件连接成倪红灯系统N，四种发光元件的工作相互独立，当四种发光元件均正常工作时，倪红灯系统N才能随机地发出亮丽的色彩，当某种元件出现故障时，倪红灯系统N在该处将出现短暂的黑幕现象，若某时刻出现两处黑幕现象，需从装有红､黄､蓝､白四种发光元件中(除颜色外没有区别)抽取两种相应的发光元件进行更换，则一次性从中随机抽取的两个恰为故障发光元件的概率为.

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14. 已知圆O：x²+y²=1，A(3，3)，点P在直线l：x﹣y=2上运动，则|PA|+|PO|的最小值为.

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15. 在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB⊥PB，∠PBC=45°，AB=2，PC= $\sqrt{5}$ ，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为.

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16. 在锐角三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $b^{2} + 2 a b + 2 a b \cos C = a^{2} + c^{2}$ ，则 $\cos^{2} \frac{B}{2} + \cos \frac{C}{2} - 1$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 在① ac=4 $\sqrt{3}$ ，② S_△_ABC= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，③ 3sinB=2sinA，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2c，A= $\frac{π}{3}$ ， ▲ ？

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18. 已知等差数列{a_n}中，a₃=5，a₇=13，等比数列{b_n}中，b₁=a₃﹣2，b₂=a₅.

(1)、求{a_n}，{b_n}的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求数列{c_n}的前n项和T_n.

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19. “练好射击本领，报效国家”，某警校大一新生进行射击打靶训练，甲､乙在相同的条件下轮流射击.每轮中，甲，乙各射击一次，射中者得1分，未射中者得0分.已知甲､乙每次射中的概率分别为 $\frac{1}{3}, \frac{1}{2}$ ，且各次射击互不影响.

(1)、经过1轮射击打靶，记甲､乙两人的得分之和为X，求X的分布列；

(2)、试问经过第2轮还是第3轮射击打靶后，甲的累计得分高于乙的累计得分的可能性更高？并说明理由.

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20. 如图，四棱台ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC= $\frac{π}{4}$ ，BC= $\sqrt{2}$ AB=2 $\sqrt{2}$ ，A₁B₁=A₁A=1.

(1)、证明：DD₁ $/ /$ 平面ACB₁；

(2)、求面角A﹣B₁C﹣D₁的余弦值.

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21. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1(a>b>0)的右焦点为F(c，0)，圆O：x²+y²=a² ，过点F与x轴垂直的直线在第一象限交圆与椭圆分别于点A，B，且|AF|= $\sqrt{2}$ |BF|，点 $P (1 ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ 在椭圆上.

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、过点F且斜率为k的直线l与E交于C，D两点，CD的中点为M，直线OM与椭圆有一个交点为N，若 $\vec{M O} = \frac{1}{3} \vec{O N}$ ，求△MNF的面积.

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22. 已知函数 $f (x) = a \ln x + x^{2} + 1$ ，其中 $a \in R$ 且 $a \neq 0$

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x \in [1 ， + \infty)$ 时，不等式 $f (x) \leq \frac{1}{a} x^{2} - 2 x$ 成立，求a的取值范围.

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