湖南省衡阳市2021届高三下学期数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $z (3 + 4 i) = 5 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、5

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2. 已知 $M$ 、 $N$ 为 $R$ 的子集，若 $M \cap ∁_{R} N = \emptyset$ ， $N = {1 ， 2 ， 3}$ ，则满足题意的 $M$ 的个数为（）

A、3 B、4 C、7 D、8

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3. 衡阳创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶.一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 二项式 ${(x - \frac{a}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为-20，则含 $x^{4}$ 项的系数为（）

A、-6 B、-15 C、6 D、15

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5. 设 $a = \log_{2} 3$ ， $b = \log_{2} \frac{4}{3}$ ，则 $\frac{a + b}{2}$ ， $a b$ ， $\frac{b}{a}$ 的大小关系为（）

A、 $a b > \frac{a + b}{2} > \frac{b}{a}$ B、 $\frac{a + b}{2} > \frac{b}{a} > a b$ C、 $\frac{a + b}{2} > a b > \frac{b}{a}$ D、 $a b > \frac{b}{a} > \frac{a + b}{2}$

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6. 非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ， $| \vec{b} | = 4$ ，则 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、4

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7. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $O$ 为坐标原点，若 $E$ 上存在点 $A$ ，使得 $∠ F_{1} A F_{2} = 60^{\circ}$ ，且 $| O A | = 2 a$ ，则此双曲线的离心率为（

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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8. 已知函数 $f (x) = \cos ω x$ （ $ω > 0$ ），将 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{3 ω}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图像，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 是 $f (x)$ 与 $g (x)$ 图像的连续相邻三个交点，若 $△ A B C$ 是钝角三角形，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2} π)$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{3} π)$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{3} π ， + \infty)$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} π ， + \infty)$

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二、多选题

9. 5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围.目前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好！某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示：

月份	2020年6月	2020年7月	2020年8月	2020年9月	2020年10月
月份编号 $x$	1	2	3	4	5
销量 $y$ /部	52	95	$a$	185	227

若 $y$ 与 $x$ 线性相关，由上表数据求得线性回归方程为 $\hat{y} = 44 x + 10$ ，则下列说法正确的是（）

A、5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约10台 B、

a = 151

C、

y

与

x

正相关 D、预计12月份该手机商城的5G手机销量约为328部

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10. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{2 n}}{S_{4 n}}$ 为常数，则称数列 ${a_{n}}$ 为“吉祥数列”.则下列数列 ${b_{n}}$ 为“吉祥数列”的有（）

A、 $b_{n} = n$ B、 $b_{n} = {(- 1)}^{n} (n + 1)$ C、 $b_{n} = 4 n - 2$ D、 $b_{n} = 2^{n}$

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11. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y$ （ $p > 0$ ），过其准线上的点 $T (1 ， - 1)$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ，下列说法正确的是（）

A、 $p = 1$ B、 $T A ⊥ T B$ C、直线 $A B$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ D、线段 $A B$ 中点的横坐标为1

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12. 已知函数 $f (x) = e^{\sin | x |} + e^{| \sin x |}$ ，以下结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 最小值为2 C、 $f (x)$ 在区间 $(- π ， - \frac{π}{2})$ 上单调递减 D、 $g (x) = f (x) - \frac{2}{π} x$ 的零点个数为5

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三、填空题

13. 使得“ $2^{x} > 4^{x^{2}}$ ”成立的一个充分条件是.

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14. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (2 - x) = 1$ ， $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ ，则 $f^{'} (- 2019) - f^{'} (2021)$ $=$ .

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15. 设圆锥的顶点为 $A$ ， $B C$ 为圆锥底面圆 $O$ 的直径，点 $P$ 为圆 $O$ 上的一点（异于 $B$ 、 $C$ ），若 $B C = 4 \sqrt{3}$ ，三棱锥 $A - P B C$ 的外接球表面积为 $64 π$ ，则圆锥的体积为.

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16. 阿波罗尼期（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 $k (k > 0 ， k \neq 1)$ 的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点 $A$ 、 $B$ 间的距离为4，动点 $P$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \sqrt{3}$ ，则动点 $P$ 的轨迹所围成的图形的面积为； $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 最大值是.

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四、解答题

17. $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差数列.

(1)、若 $A = \frac{π}{3}$ ，求 $B$ ；

(2)、求 $B$ 的取值范围.

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18. 已知 ${a_{n}}$ 数列满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} - 2 a_{n} = 2^{n + 1}$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 为等差数列.

(2)、求数列 ${a_{n} + 2^{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和.

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19. 槟榔芋又名香芋，衡阳市境内主要产于祁东县.槟榔芋富含淀粉、蛋白质、脂肪和多种维生素，可加工成芋兰片，芋丝等副食品，深受广大消费者喜爱.衡阳市某超市购进一批祁东槟榔芋，并随机抽取了50个统计其质量，得到的结果如下表所示：

质量/克	$[130, 150)$	$[150, 170)$	$[170, 190)$	$[190, 210)$	$[210, 230)$	$[230, 250)$
数量/个	2	5	12	22	6	3

(1)、若购进这批槟榔芋100千克，同一组数据用该区间中点值作代表，试估计这批槟榔芋的数量（所得结果四舍五入保留整数）；

(2)、以频率估计概率，若在购进的这批槟榔芋中，随机挑选3个，记3个槟榔芋中质量在

[150, 170)

间的槟榔芋数量为随机变量

X

，求

X

的分布列和数学期望

E (X)

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20. 如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $A A_{1} = 2$ ， $∠ A D C = \frac{2 π}{3}$ ，点 $E$ 在平面 $A_{1} C_{1} D$ 上，且 $B E ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ .

(1)、求 $B E$ 的长；

(2)、若 $F$ 为 $A_{1} A$ 的中点，求 $B E$ 与平面 $F C_{1} B$ 所成角的正弦值.

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21. 已知圆 $F_{1}$ ： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ 与圆 $F_{2}$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = {(4 - r)}^{2} (1 \leq r \leq 3)$ 的公共点的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、设点 $A$ 为圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = \frac{12}{7}$ 上任意点，且圆 $O$ 在点 $A$ 处的切线与 $E$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点.试问： $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{a x}$ ， $g (x) = k x + a$ ，其中 $a > 0$ ， $k \in R$ .

(1)、当 $k = a = 1$ 时，求函数 $y = \frac{g (x)}{f (x)}$ 的最大值；

(2)、是否存在实数 $k$ ，使得只有唯一的 $a$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，若存在，试求出 $k$ ， $a$ 的值；若不存在，请说明理由.

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