湖南省2021届高三下学期数学三模试卷

试卷更新日期：2021-05-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x - 1 > 0}$ ， $N = {x | x^{2} < 10}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x | x > - \sqrt{10}}$ B、 ${x | 1 < x < 10}$ C、 ${x | x > \sqrt{10}}$ D、 ${x | 1 < x < \sqrt{10}}$

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2. 已知 $z$ 在复平面内对应的点的坐标为 $(2, - 1)$ ，则 $\frac{2 z}{z - 1} =$ （）

A、 $3 + i$ B、 $1 - 3 i$ C、 $1 - i$ D、 $2 - i$

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3. 每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检（）

A、20家 B、10家 C、15家 D、25家

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4. 已知抛物线 $C : y = m x^{2} (m > 0)$ 上的点 $A (a, 2)$ 到其准线的距离为4，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、8 C、 $\frac{1}{8}$ D、4

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5. 《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作.其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同）.二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至后的那个节气（小暑）晷长为（）

A、五寸 B、二尺五寸 C、三尺五寸 D、四尺五寸

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6. $P$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为其左、右焦点， $O$ 为坐标原点.若 $| O P | = b$ ，且 $\sin ∠ P F_{2} F_{1} ＝ 3 \sin ∠ P F_{1} F_{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{6}$

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7. 在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为 $p_{1}$ 和 $p_{2}$ ，则（）

A、 $p_{1} = p_{2}$ B、 $p_{1} < p_{2}$ C、 $p_{1} > p_{2}$ D、以上三种情况都有可能

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二、多选题

8. 在 ${(3 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（）

A、二项式系数和为64 B、各项系数和为64 C、常数项为-135 D、常数项为135

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9. 已知函数 $f (x) = 2 a \ln x + x^{2} + b$ .（）

A、当 $a = - 1$ 时， $f (x)$ 的极小值点为 $(1 ， 1 + b)$ B、若 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递增，则 $a \in [- 1 ， + \infty)$ C、若 $f (x)$ 在定义域内不单调，则 $a \in (- \infty ， 0)$ D、若 $a = - \frac{3}{2}$ 且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与曲线 $y = - e^{x}$ 相切，则 $b = - 2$

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10. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $∠ A = 60 °$ ，沿对角线 $B D$ 将 $△ A B D$ 折起到 $△ P B D$ 的位置，使得平面 $P B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，下列说法正确的有（）

A、平面 $P C D ⊥$ 平面 $P B D$ B、三棱锥 $P - B C D$ 四个面都是直角三角形 C、 $P D$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、过 $B C$ 的平面与 $P D$ 交于 $M$ ，则 $△ M B C$ 面积的最小值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 a \sin ω x \cos ω x - 2 \cos^{2} ω x + 1$ $(ω > 0 ， a > 0)$ ，若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，且对任意的 $x \in R$ ， $f (x) \geq f (x_{0})$ 恒成立，下列说法正确的有（）

A、 $ω = 2$ B、若 $x_{0} = - \frac{π}{6}$ ，则 $a = \sqrt{3}$ C、若 $f (x_{0} - \frac{π}{2}) = 2$ ，则 $a = \sqrt{3}$ D、若 $g (x) = f (x) - 2 | f (x) |$ 在 $(x_{0} - \frac{3 π}{4} ， x_{0} - θ)$ 上单调递减，则 $\frac{π}{2} \leq θ < \frac{3 π}{4}$

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三、填空题

12. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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13. 函数概念最早出现在格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》（1667年）中.他定义函数是这样一个量：它是从一些其他量出发，经过一系列代数运算而得到的，或者经过任何其他可以想象到的运算得到的.若一个量 $c = a + b$ ，而 $c$ 所对应的函数值 $f (c)$ 可以通过 $f (c) = f (a) \cdot f (b)$ 得到，并且对另一个量 $d$ ，若 $d > c$ ，则都可以得到 $f (d) > f (c)$ .根据自己所学的知识写出一个能够反映 $f (c)$ 与 $c$ 的函数关系式：.

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14. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是.
①“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形；

②“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；

③三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为 $2 \sqrt{95}$ ；

④三组对棱长度分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ 的“等腰四面体”的外接球直径为 $\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .

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15. 直线 $l : (2 a - 1) x + (a - 3) y + 4 - 3 a = 0$ 与圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 9$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B |$ 的最小值为；此时 $a =$ .

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四、解答题

16. 已知数列{a_n}满足 $2 a_{n} = 3 a_{n + 1} - a_{n + 2}$ ，a₂-a₁=1.

(1)、证明：数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是等比数列；

(2)、若a₁= $\frac{1}{2}$ ，求数列{a_n}的通项公式.

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17. $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边.已知 $a = 3 b \sin A$ ， $a = 3$ ， $c = 3 \sqrt{2}$ .

(1)、若 $b < c$ ，求 $b$ ；

(2)、求 $\cos 2 C$ .

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18. 为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者最担心接种疫苗后会有副作用.其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用.在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现.为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下：

	无疲乏症状	有疲乏症状	总计
未接种疫苗	100	20	120
接种疫苗	$x$	$y$	$n$
总计	160	$m$	200

(1)、求

2 \times 2

列联表中的数据

x

，

y

，

m

，

n

的值，并确定能否有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.

(2)、从接种疫苗的

n

人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的3人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，设得分结果总和为

X

，求

X

的分布列和数学期望.

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

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19. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{n + 1} - 3 a_{n} + 2 a_{n - 1} = 1$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 4$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n + 1} - a_{n} + 1}$ 是等比数列；

(2)、求 $S_{n}$ ．

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20. 如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面为矩形，平面 $A A_{1} D_{1} D ⊥$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$ ，且 $C C_{1} = C D = D D_{1} = \frac{1}{2} C_{1} D_{1} = 1$ .

(1)、证明： $A D ⊥$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$ ；

(2)、若 $A_{1} C$ 与平面 $C C_{1} D_{1} D$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ，求二面角 $C - A A_{1} - D$ 的余弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} + a \ln x (a \in R)$ ， $g (x) = x^{2} - x - \frac{1}{x}$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $F (x) = f (x) + g (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且曲线 $y = F (x)$ 在 $x = \sqrt{x_{1} x_{2}}$ 处的切线方程为 $y = G (x)$ ，求使不等式 $F (x) < G (x)$ 成立的 $x$ 的取值范围.

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22. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (c, 0)$ ，离心率 $e = \frac{1}{2}$ ．

(1)、若 $P$ 为椭圆 $C$ 上一动点，证明 $P$ 到 $F$ 的距离与 $P$ 到直线 $x = \frac{a^{2}}{c}$ 的距离之比为定值，并求出该定值；

(2)、设 $c = 1$ ，过定点 $(0, c)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，在 $y$ 轴上是否存在一点 $Q$ ，使得 $y$ 轴始终平分 $∠ M Q N$ ？若存在，求出 $Q$ 点的坐标；若不存在，请说明理由．

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