河南省新乡市2021届高三理数第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-05-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $z = \frac{3 - i}{1 - 2 i}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部是（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、1 D、-1

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2. 定义集合 $M \otimes N = {x | x \in M 且 x - 1 \in N}$ ，已知集合 $A = {x | x^{2} + 3 x - 10 < 0}$ ， $B = {x | - 7 < x < 0}$ ，则 $A \otimes B =$ （）

A、 ${x | - 5 < x < - 1}$ B、 ${x | - 7 < x < 2}$ C、 ${x | - 5 < x < 1}$ D、 ${x | - 5 < x < 0}$

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3. 将函数f(x)=sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω}$ (ω>0)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的最小正周期为6π，则（）

A、ω= $\frac{1}{3}$ B、ω=6 C、ω= $\frac{1}{6}$ D、ω=3

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4. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A E} = \frac{3}{10} (\vec{A B} + \vec{A C})$ ， $D$ 为 $B C$ 边的中点，则（）

A、 $3 \vec{A E} = 7 \vec{E D}$ B、 $7 \vec{A E} = 3 \vec{E D}$ C、 $2 \vec{A E} = 3 \vec{E D}$ D、 $3 \vec{A E} = 2 \vec{E D}$

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5. 某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为 $\frac{2}{3}$ ，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{8}{9}$

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6. 执行如图所示的程序框图，若输入的 $N = 10$ ，则输出的 $X =$ （）

A、 $\frac{1}{32}$ B、 $\frac{1}{21}$ C、 $\frac{1}{19}$ D、 $\frac{1}{17}$

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7. 已知 $P$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点，且 $P$ 到焦点 $F$ 的距离与 $P$ 到直线 $x = 4$ 的距离之和为7，则 $| P F | =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、6.5

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8. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为（）

A、39 B、45 C、48 D、51

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9. 已知 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点对称，且对任意的 $x \in R$ ， $f (x + 2) = f (- x)$ 恒成立，当 $- 1 \leq x < 0$ 时， $f (x) = 2^{x}$ ，则 $f (2021) =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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10. 设 $α$ ， $β$ 均为锐角，且 $\cos (α + β) + \cos (α - β) = \frac{\sin α}{\sin β}$ ，则 $\frac{\tan α}{2 + \sin^{2} β}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、6 D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的图象过点 $(1 ， \frac{1}{e})$ ，且 $f (x) = \frac{2 x + 1}{e^{x}} - f^{'} (x)$ 对 $x \in R$ 恒成立，若关于 $x$ 的方程 $f (x) + a = 0 (a \in R)$ 有3个不同的实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- e ， 0)$ B、 $(0 ， e)$ C、 $(- \frac{5}{e^{2}} ， 0)$ D、 $(- \frac{5}{e^{2}} ， e)$

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12. 正四面体 $A B C D$ 的棱长为1，点 $P$ 是该正四面体内切球球面上的动点，当 $\vec{P A} \cdot \vec{P D}$ 取得最小值时，点 $P$ 到 $A D$ 的距离为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{12}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{12}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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二、填空题

13. 在二项式 ${(x^{2} + \frac{3}{\sqrt{x}})}^{7}$ 的展开式中， $x^{9}$ 的系数为.

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14. 如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为．

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15. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $M (4 ， 3)$ ，则 $∠ F_{1} M F_{2}$ 的角平分线所在直线的斜率为．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 (a_{n} - n^{2} + 1) + n^{2} + 2 n$ ，现有如下四个结论：
① ${a_{n}}$ 是单调递增数列；

② $\exists n \in N^{*}$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ ；

③ $a_{10} = 611$ ；

④数列 ${{(- 1)}^{n} a_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和为 $\frac{4^{n} - 1}{3} + n (2 n + 1)$ .

其中所有正确结论的序号是.

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三、解答题

17. $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为锐角 $△ A B C$ 内角A， $B$ ， $C$ 的对边.已知 $2 a \sin A = (2 \sin B - \sin C) b + (2 \sin C - \sin B) c$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $c = 2$ ，试问 $b$ 的值是否可能为5?若可能，求 $△ A B C$ 的周长；若不可能，请说明理由.

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18. 某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率

y

的频数分布表.

y的分组	$[- 0.4, - 0.2)$	$[- 0.2, 0)$	$[0, 0.2)$	$[0.2, 0.4)$	$[0.4, 0.6)$
企业数	30	24	40	16	10

(1)、估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；

(2)、估计这120个企业产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(3)、以表中

y

的分组中各组的频率为概率，某记者要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做采访调查.若采访的企业的增长率

y \in [- 0.4, - 0.2)

，则采访价值为1；采访的企业的增长率

y \in [- 0.2, 0)

，则采访价值为2；采访的企业的增长率

y \in [0, 0.6)

，则采访价值为3.设选取的两个企业的采访价值之和为

X

，求

X

的分布列及数学期望.

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19. 已知在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C_{1} ⊥ A_{1} B$ ， $B C = 1$ ， $A C = C C_{1} = 2$ ， $∠ A C C_{1} = 120 °$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ；

(2)、若 $\vec{C P} = \frac{1}{3} \vec{C A}$ ，求二面角 $B - A_{1} P - C$ 的余弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = a (\ln x + x) - x e^{x}$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与 $y$ 轴垂直，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意 $x > 0$ ，不等式 $f (x) + 1 \leq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值集合．

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ ， $E$ 为 $C$ 上不同于 $A$ ， $B$ 的动点，直线 $A E$ ， $B E$ 的斜率 $k_{A E}$ ， $k_{B E}$ 满足 $k_{A E} \cdot k_{B E} = - \frac{1}{2}$ ， $\vec{A E} \cdot \vec{B E}$ 的最小值为-4.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、 $O$ 为坐标原点，过 $O$ 的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 满足 $l_{1} // A E$ ， $l_{2} // B E$ ，且 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交 $C$ 于 $M$ ， $N$ 和 $P$ ， $Q$ .试判断四边形 $M P N Q$ 的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \cos α, \\ y = \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），直线 $l : x + y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、写出曲线 $C$ 的普通方程及直线 $l$ 的极坐标方程；

(2)、直线 $m : θ = θ_{0} (θ_{0} \in (0, \frac{π}{4}))$ 与曲线 $C$ 和直线 $l$ 分别交于 $A$ ， $B$ （ $A$ ， $B$ 均异于点 $O$ ）两点，求 $| O A |$ $\cdot$ $| O B |$ 的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 2 | + | x + 1 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq 5$ 的解集；

(2)、记 $f (x)$ 的最小值为 $M$ ，若关于 $x$ 的不等式 $| x - m | + | x - 2 | \leq M$ 有解，求 $m$ 的取值范围．

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