河南省焦作市2021届高三理数第三次大联考试卷

试卷更新日期：2021-05-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， a^{2}}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1}$ ，若 $A \cup B = B$ ，则A中元素的和为（）

A、0 B、1 C、2 D、-1

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2. 已知 $a$ 为实数，复数 $z = (a - 2) + a i$ （ $i$ 为虚数单位），复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，若 $z$ 为纯虚数，则 $1 - \bar{z} =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $2 + i$ D、 $2 - i$

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3. 造纸术､印刷术､指南针､火药被称为中国古代四大发明，这四种发明对中国古代的政治､经济､文化的发展产生了巨大的推动作用；2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了“中国的新四大发明”：高铁､扫码支付､共享单车和网购．若从这8个发明中任取两个发明，则两个都是新四大发明的概率为（）

A、 $\frac{1}{14}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4. 已知两个单位向量 $\overset{⇀}{a}$ 和 $\overset{⇀}{b}$ 夹角为 $60 °$ ，则向量 $\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}$ 在向量 $\overset{⇀}{a}$ 方向上的投影为（）

A、-1 B、1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 成等差数列，若 $\sin (B + α) = \frac{3}{5} + \sin α$ ，则 $\sin (α + 300 °) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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6. $(2 - \frac{1}{x^{2}}) {(1 + a y)}^{6}$ 展开式中 $x^{- 2} y^{3}$ 项的系数为160，则 $a =$ （）

A、2 B、4 C、-2 D、 $- 2 \sqrt{2}$

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7. 已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是 $\frac{8}{3} π$ ，则 $x =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、6

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8. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ ， $(ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $f (x)$ 的图象过 $A (\frac{π}{4} ， 1)$ ， $B (\frac{5 π}{4} ， - 1)$ 两点，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位得到 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{3 π}{4}]$ 上的最小值为（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、-1

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9. 已知圆C： ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，P是直线 $x - y - 1 = 0$ 的一点，过点P作圆C的切线，切点为A，B，则 $| P C | \cdot | A B |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{11}$

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10. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ， $B$ 是椭圆 $C$ 的上顶点，直线 $x = \frac{1}{3} c$ 与直线 $B F_{2}$ 交于点 $A$ ，若 $∠ A F_{1} F_{2} = \frac{π}{4}$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 如图，已知四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是边长为6的菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $S O ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $S O = 4$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点，动点 $P$ 在该棱锥表面上运动，并且总保持 $P E ⊥ A C$ ，则动点 $P$ 的轨迹的长为（）

A、3 B、7 C、13 D、8

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12. 已知曲线 $C_{1}$ ： $f (x) = x e^{x}$ 在 $x = 0$ 处的切线与曲线 $C_{2}$ ： $g (x) = \frac{a \ln x}{x} (a \in R)$ 在 $x = 1$ 处的切线平行，令 $h (x) = f (x) g (x)$ ，则 $h (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上（）

A、有唯一零点 B、有两个零点 C、没有零点 D、不确定

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二、填空题

13. 执行如图所示的程序框图，若输入 $n$ 的值为3，则输出 $i$ 的值为．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{1} \geq - 1$ ， $a_{2} \leq 2$ ， $a_{3} \geq 0$ ，则 $z = 3 a_{1} - a_{5}$ 的最大值是．

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15. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x) = \ln 2 - f (- x)$ ，函数 $g (x) = f (x) + \frac{2 \sin x}{\cos x + π}$ ，若 $g (e^{a}) = \ln \frac{1}{2} (a \in R)$ ，则 $g (- e^{a}) =$ ．

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16. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．若 $2 \sin B \sin C \cos A + \cos 2 A = 1$ ，则 $\frac{a^{2}}{b c}$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{1}}{2^{1} + 1} + \frac{a_{2}}{2^{2} + 1} + \frac{a_{3}}{2^{3} + 1} + \dots + \frac{a_{n}}{2^{n} + 1} = \frac{1}{2^{n}} - 1$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设等差数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{1}{2} n^{2} - \frac{1}{2} n + k$ ，令 $c_{n} = b_{n} - a_{n} + k n^{2}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 从2020年元月份以来，全世界的经济都受到了新冠病毒的严重影响，我国抗疫战斗取得了重大的胜利，全国上下齐心协力复工复产，抓经济建设；某公司为了提升市场的占有率，准备对一项产品实施科技改造，经过充分的市场调研与模拟，得到 $x$ ， $y$ 之间的五组数据如下表：

$x$

2

3

5

7

8

$y$

5

8

12

14

16

其中， $x$ （单位：百万元）是科技改造的总投入， $y$ （单位：百万元）是改造后的额外收益；设 $U = 2 x + y$ 是对当地生产总值增长的贡献值．

附：对于一组数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， \dots (x_{n} ， y_{n})$ ，其拟合直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的残差平方和为 $D = \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \hat{b} x_{i} - \hat{a})}^{2}$ ， $D$ 越小拟合效果越好．

(1)、若从五组数据中任取两组，求恰有一组满足 $U > 30$ 的概率；

(2)、记 $ξ$ 为 $U > 20$ 时的任意两组数据对应的贡献值的和，求随机变量 $ξ$ 的分布列和数学期望；

(3)、利用表中数据，甲､乙两个调研小组给出的拟合直线方程分别为甲组： $\hat{y} = 2 x + 1$ ，乙组： $\hat{y} = \frac{5}{2} x - \frac{3}{2}$ ，试用最小二乘法判断哪条直线的拟合效果更好？

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19. 如图，已知 $A B B_{1} A_{1}$ 是圆柱 $O O_{1}$ 的轴截面， $O$ 、 $O_{1}$ 分别是两底面的圆心， $C$ 是弧 $A B$ 上的一点， $∠ A B C = 30^{\circ}$ ，圆柱的体积和侧面积均为 $4 π$ ．

(1)、求证：平面 $A C A_{1} ⊥$ 平面 $B C B_{1}$ ；

(2)、求二面角 $B - A_{1} B_{1} - C$ 的大小．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点， $P$ 为椭圆的下顶点， $△ O P F_{2}$ 为等腰三角形，当 $l ⊥ x$ 轴时， $△ O A B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 不与坐标轴垂直，线段 $A B$ 的中垂线 $l^{'}$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，若直线 $F_{1} M$ 的斜率为 $\frac{1}{3}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = x^{2} + a x - x + 1$ ．

(1)、令 $h (x) = \frac{g (x)}{f (x)}$ ，讨论函数 $h (x)$ 的单调性；

(2)、令 $φ (x) = f (x) g (x)$ ，当 $a \geq 1$ 时，若 $φ (x) \geq - \frac{1}{e}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 过定点 $P (3 ， 0)$ ，倾斜角为 $α (0 < α < \frac{π}{2})$ ，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t + \frac{1}{t} \\ y = \frac{t}{2} - \frac{1}{2 t} \end{array}$ （ $t$ 为参数）；以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、已知直线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，且 $| P M | \cdot | P N | = \frac{10}{3}$ ，求 $l$ 的参数方程．

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23. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a | x - 1 | - 1$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，解不等式 $f (x) + f (2) \geq 0$ ；

(2)、对任意的 $x \in [\frac{3}{2} ， + \infty)$ ， $f (x) \geq a | x + 1 |$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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$x$	2	3	5	7	8
$y$	5	8	12	14	16