河南省济源（平顶山许昌市）2021届高三理数第二次质量检测试卷

试卷更新日期：2021-05-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | \frac{1}{2} < 2^{x} \leq 2}$ ， $N = {x \in Z | x^{2} - 1 \leq 0}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、{-1} B、 ${x | - 1 \leq x \leq 1}$ C、 ${x | - 1 < x \leq 1}$ D、 ${- 1, 0, 1}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 2$ ，则 $| z^{2} - 2 z | =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 随着“互联网+”上升为国家战略，某地依托“互联网+智慧农业”推动精准扶贫.其地域内 $A$ 山村的经济收入从2018年的4万元，增长到2019年的14万元，2020年更是达到52万元，在实现华丽蜕变的过程中，村里的支柱性收入也在悄悄发生变化，具体如下图所示，则下列结论正确的是（）

A、2020年外出务工收入比2019年外出务工收入减少 B、种植收入2020年增长不足2019年的2倍 C、2020年养殖收入与2019年其它收入持平 D、2020年其它收入比2019年全部收入总和高

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4. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{m^{2} + 1} - \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1$ （ $m > 0$ ）的焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，虚轴上端点为 $A$ ，若 $∠ F_{1} A F_{2} = \frac{2 π}{3}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、2

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5. 已知直线 $m$ ， $n$ 和平面 $α$ ， $β$ .
命题 $p$ ：若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α // β$ ，则直线 $m$ 与直线 $n$ 平行或异面；

命题 $q$ ：若 $m // α$ ， $α // β$ ，则 $m // β$ ；

命题 $s$ ：若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = m$ ，过平面 $α$ 内一点作直线 $m$ 的垂线 $n$ ，则 $n ⊥ β$ ；

则下列为真命题的是（）

A、 $p \lor (\neg q)$ B、 $(\neg p) \land s$ C、 $q \land (\neg s)$ D、 $(\neg p) \land (\neg q)$

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6. 如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间．小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落，当有大量的小球都滚下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球．若一个小球从正上方落下，落到3号位置的概率是（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{1}{8}$

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7. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $| \vec{A B} | = 2 \sqrt{3}$ ， $| \vec{B C} | = 4$ ，若点 $M$ ， $N$ 满足 $\vec{B M} = 3 \vec{M C}$ ， $\vec{D N} = 2 \vec{N C}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{M N} =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = n^{2} a_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，则 $S_{n} =$ （）

A、 $\frac{2 n}{n + 1}$ B、 $\frac{2 n^{2}}{{(n + 1)}^{2}}$ C、 $\frac{n^{2}}{2^{n} - 1}$ D、 $\frac{n^{2}}{2 n - 1}$

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9. 已知 $5^{x} = 6^{y} = 30$ ， $z = \log_{x} y$ ，则 $x$ ， $y$ ， $z$ 的大小关系为（）

A、 $x < y < z$ B、 $z < y < x$ C、 $y < x < z$ D、 $z < x < y$

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10. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ ， $a_{6}$ ， $3 a_{5}$ ， $a_{7}$ 成等差数列，若 ${a_{n}}$ 中存在两项 $a_{m}$ ， $a_{n}$ ，使得 $4 a_{1}$ 为其等比中项，则 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n}$ 的最小值为（）

A、4 B、9 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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11. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ ，过其焦点 $F$ 作抛物线相互垂直的两条弦 $A B$ ， $C D$ ，设 $A B$ ， $C D$ 的中点分别为 $M$ ， $N$ ，则直线 $M N$ 与 $x$ 轴交点的坐标是（）

A、 $(2, 0)$ B、 $(3, 0)$ C、 $(4, 0)$ D、不能确定

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12. 设函数 $f (x) = x^{3} - 2 m x^{2} + m^{2} x + m$ （ $x \in R$ ），当 $m > 3$ 时，对于三角形的内角 $A$ ，若存在 $x \in [- 1 ， 0]$ 使 $f (x^{2} - \cos^{2} A) < f (- x - \cos A - 1)$ 成立，则 $A$ 的可能取值是（）

A、 $\frac{2 π}{5}$ B、 $\frac{3 π}{8}$ C、 $\frac{4 π}{5}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = x e^{x} - e^{x}$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为.

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14. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq x ， \\ x + y \leq 1 ， z = 2 x + y ， \\ y \geq - 1 ， \end{array}$ ，则 $z$ 的取值范围为．

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15. 已知 $(a + x) {(1 + x)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，若点 $(1, - 1)$ 关于直线 $x + y = 4$ 的对称点坐标为 $(5, a)$ ，则 $a_{1} + a_{3} + a_{5} =$ ．

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16. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的顶点均在球 $O$ 的球面上，底面 $A B C D$ 是矩形， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 2$ ， $∠ A P B = 60 °$ ，二面角 $P - A B - C$ 大小为120°，当 $△ P A B$ 面积最大时，球 $O$ 的表面积为．

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角A、 $B$ 、 $C$ 的对边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $b = 3$ ， $a - c = 2$ ， $A = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $\sin (A - C)$ 的值．

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18. 如图所示的五面体中，四边形 $A B C D$ 是正方形，平面 $A D E ⊥$ 平面 $C D E F$ ， $A B = E D = 2 E F = 2$ ， $∠ E A D = 60 °$ ．

(1)、证明：平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $C F$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值．

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19. 2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人.2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．

(1)、求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^{2}$ （同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；

(2)、由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，令 $Y = \frac{X - μ}{σ}$ ，则 $Y ~ N (0 ， 1)$ ，且 $P (X \leq a) = P (Y \leq \frac{a - μ}{σ})$ ．
（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求 $P (X \leq 10)$ ；

（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记 $Z$ 表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求 $P (Z \geq 1)$ （结果精确到0.001）以及 $Z$ 的数学期望．

参考数据： $\sqrt{1.64} \approx 1.28$ ， ${0.7734}^{20} \approx 0.0059$ ．若 $Y ~ N (0 ， 1)$ ，则 $P (Y \leq 0.78) = 0.7734$ ．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过右焦点 $F (c ， 0)$ 的直线 $y = x - c$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点， $A$ 在第一象限，且 $| A F | = \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、在 $x$ 轴上是否存在点 $M$ ，满足对于过点 $F$ 的任一直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的两个交点 $P$ ， $Q$ ，都有 $\vec{M P} \cdot \vec{M Q}$ 为定值？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = (m - \ln x) x (x > 1)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) - 2 x - m < 0$ 恒成立，求正整数 $m$ 的最大值．
参考数据： $\ln 5 \approx 1.61$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \cos α \\ y = 1 + \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \sin (θ - \frac{π}{3}) - \frac{1}{2} = 0$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、已知曲线 $C_{1}$ 和直线 $l$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，求三角形 $A B O$ 面积.

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23. 已知函数 $f (x) = 2 | x - 1 | - | x + 1 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) \geq 1$ ；

(2)、对 $\forall x \in R$ ， $f (x) > m - | 3 x + 3 |$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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