贵州省普通高等学校招生2021届高三理数适应性测试（3月）试卷

试卷更新日期：2021-05-12 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}$ ，集合 $B = {y | y = 2^{x}, x \in A}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${- 1, 0, \frac{1}{2}, 1, 2, 4}$

查看试题解析
2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = \frac{5}{2 - i}$ 的虚部为（）

A、1 B、2 C、 $i$ D、 $2 i$

查看试题解析
3. 小明处理一组数据，漏掉了一个数10，计算得平均数为10，方差为2，加上这个数后的这组数据（）

A、平均数等于10，方差等于2 B、平均数等于10，方差小于2 C、平均数大于10，方差小于2 D、平均数小于10，方差大于2

查看试题解析
4. 2020年3月，中共中央国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，提出“把劳动教育纳入人才培养全过程，贯通大中小学各学段，贯穿家庭､学校､社会各方面，与德育､智育､体育､美育相融合，紧密结合经济社会发展变化和学生生活实际，积极探索具有中国特色的劳动教育模式”.贵州省某学校结合自身实际，推出了《职业认知》《家政课程》《田地教育》《手工制作》《种植技术》五门劳动课程，要求学生从中任选两门进行学习，经考核合格后方能获得相应学分.已知甲､乙两人进行选课，则仅有一门课程相同的概率为（）

A、 $\frac{3}{25}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{3}{5}$

查看试题解析
5. 设 $a = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{7}$ ， $b = 3^{- 0.2}$ ， $c = {(\frac{1}{3})}^{2.1}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

查看试题解析
6. 双曲线 $C$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ， $C$ 的一条渐近线与抛物线 $M$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的一个交点为 $A$ (异于原点).点 $A$ 在以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆上，则 $p$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

查看试题解析
7. 如图， $G$ ， $H$ ， $M$ ， $N$ 分别是直三棱柱的顶点或所在棱的中点，则在下列图形中 $G H / / M N$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
8. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 5$ ， $a_{2} = 9$ .若数列 ${a_{n} + n^{2}}$ 是等差数列，则 ${a_{n}}$ 的最大项为（）

A、9 B、11 C、 $\frac{45}{4}$ D、12

查看试题解析
9. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $∠ B A D = \frac{π}{4}$ ，若 $\vec{D E} = λ \vec{D C}$ ，且 $\vec{B D} \cdot \vec{A E} = - 3$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

查看试题解析
10. 若关于 $x$ 的方程 $\sqrt{3} \cos x = a + \sin x$ 在区间 $[0 ， π]$ 上有两个不等的实根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2 ， - 1]$ B、 $[1 ， 2)$ C、 $(- 2 ， - \sqrt{3}]$ D、 $[\sqrt{3} ， 2)$

查看试题解析
11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是某三棱锥的三视图，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A、 $\frac{17 \sqrt{17}}{6} π$ B、 $\frac{68 \sqrt{17}}{3} π$ C、17π D、68π

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ ，有如下四个结论：
①函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(0, 1)$ 对称；②函数 $f (\tan x)$ 的图象的一条对称轴为 $x = \frac{π}{4}$ ；③ $\forall x \in R$ ，都有 $m \geq f (x)$ ，则 $m$ 的最小值为3；④ $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $m \leq f (x_{0})$ ，则 $m$ 的最大值为-1 $- 1$ .其中所有正确结论的编号是（）

A、①③ B、②④ C、①②③ D、②③④

查看试题解析

二、填空题

13. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \geq 0 \\ x - y \geq 0 \\ x \leq 1 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最大值为.

查看试题解析
14. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} + 1$ ，若 $f (a) = 3$ ，则 $f (- a) =$ .

查看试题解析
15. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1, a_{2} = 2$ ，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} \cdot S_{n + 2} = S_{n + 1}^{2}$ ，则 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

查看试题解析
16. Cassini卵形线是由法田天文家Jean-DominiqueCassini(1625-1712)引入的.卵形线的定义是：线上的任何点到两个固定点 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 的距离的乘积等于常数 $b^{2}$ . $b$ 是正常数，设 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 的距离为 $2 a$ ，如果 $a < b$ ，就得到一个没有自交点的卵形线；如果 $a = b$ ，就得到一个双纽线；如果 $a > b$ ，就得到两个卵形线.若 $S_{1} (- 1 ， 0)$ ， $S_{2} (1 ， 0)$ .动点 $P$ 满足 $| P S_{1} | \cdot | P S_{2} | = 1$ .则动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程为；若 $A'$ 和 $A$ 是轨迹 $C$ 与 $x$ 轴交点中距离最远的两点，则 $△ A P A'$ 面积的最大值为.

查看试题解析

三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $A = \frac{π}{3}$ .

(1)、若 $2 \sin C = 3 \sin B$ ，求 $a$ ；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 边的中点，求线段 $A D$ 长的最小值.

查看试题解析
18. 如图，在实验室细菌培养过程中，细菌生长主要经历调整期､指数期､稳定期和衰亡期四个时期.在一定条件下，培养基上细菌的最大承载量(达到稳定期时的细菌数量)与培养基质量具有线性相关关系.某实验室在培养细菌 $A$ 的过程中，通过大量实验获得了以下统计数据：

培养基质量x(克)

20

40

50

60

80

细菌A的最大承载量Y(单位)

300

400

500

600

700

参考数据： $2^{10} = 1024$ ， $2^{11} = 2048$ ， $2^{12} = 4096$ ， $2^{13} = 8192$ .参考公式：回归方程 $\hat{Y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} Y_{i} - n \bar{x} \bar{Y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{Y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、建立Y关于x的回归直线方程，并预测当培养基质量为100克时细菌A的最大承载量；

(2)、研究发现，细菌 $A$ 的调整期一般为3小时，其在指数期的细菌数量 $y$ (单位)与细菌 $A$ 被植入培养基的时间 $t$ 近似满足函数关系 $y = 0.8 \times 2^{t - 3} + 20$ ，试估计在100克培养基上培养细菌 $A$ 时指数期的持续时间(精确到1小时).

查看试题解析
19. 三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = 4$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $D$ 为 $A C$ 中点，点 $E$ 在棱 $P C$ 上(端点除外).过直线 $D E$ 的平面 $α$ 与平面 $P A B$ 垂直，平面 $α$ 与此三棱锥的面相交，交线围成一个四边形.

(1)、在图中画出这个四边形，并写出作法(不要求证明)；

(2)、若 $D E ⊥ P C$ .求直线 $P C$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
20. 已知 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ 是椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点， $P$ 是 $E$ 上一点， $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ， $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $3$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、过 $F_{2}$ 作两条互相垂直的直线与 $E$ 分别交于 $A, B$ 和 $C, D$ ，若 $M, N$ 分别为 $A B$ 和 $C D$ 的中点.证明：直线 $M N$ 恒过定点，并求出定点坐标.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1}$ .

(1)、设函数 $h (x) = x f (x)$ ，求 $h (x)$ 的单调区间；

(2)、判断函数 $y = f (x)$ 与 $g (x) = \ln x$ 的图象是否存在公切线，若存在，这样的切线有几条，为什么？若不存在，请说明理由.

查看试题解析
22. 直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \tan θ + \frac{1}{\tan θ}$ .

(1)、曲线 $C$ 与直线 $l$ ： $θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $| A B |$ ；

(2)、曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = r \cos α \\ y = r s i n α \end{array}$ ( $r > 0$ ， $α$ 为参数)，当 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ 时，若 $C$ 与 $C_{1}$ 有两个交点，极坐标分别为 $(ρ_{1}, θ_{1})$ ， $(ρ_{2}, θ_{2})$ ，求 $r$ 的取值范围，并证明 $θ_{1} + θ_{2} = \frac{π}{2}$ .

查看试题解析
23. 函数 $f (x) = | x | + | x - 1 |$ 的最小值为 $m$ .

(1)、求 $m$ ；

(2)、设正实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a + b + c = m$ ，证明： $a b + b c + c a \geq \sqrt{3 a b c}$ .

查看试题解析

培养基质量x(克)	20	40	50	60	80
细菌A的最大承载量Y(单位)	300	400	500	600	700