广东省汕头市2021届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | 0 < x < 4}$ ， $B = {x | (x - 1) (x + 2) < 0, x \in N}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、{1} B、 ${1, 2}$ C、 ${0, 1, 2, 3}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2, 3}$

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2. 在复平面内，复数 $\frac{3 i}{1 - i}$ 的共轭复数对应点的坐标所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若 ${(\frac{1}{5})}^{a} = 3$ ，则 $a - \log_{\frac{1}{5}} 15 =$ （）

A、-1 B、1 C、 $\frac{1}{5}$ D、3

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4. 已知 $\sin (α - \frac{π}{3}) = - 3 \cos (α - \frac{π}{6})$ ，则 $\sin 2 α$ 的值是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{7}$ C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、 $- \frac{4 \sqrt{3}}{7}$

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5. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} a_{4} = 16$ ， $a_{4} + a_{5} = 24$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为（）

A、 $a_{n} = 2^{n - 1}$ B、 $a_{n} = 2^{n}$ C、 $a_{n} = 3^{n}$ D、 $a_{n} = 3^{n - 1}$

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6. 已知 $x > 1$ ， $y < 0$ ，且 $3 y (1 - x) = x + 8$ ，则 $x - 3 y$ 的最小值为（）

A、6 B、8 C、 $\frac{15}{2}$ D、 $\frac{13}{2}$

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7. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数： $1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5$ ，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为 $90 °$ 的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．右图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{15} π}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{15} π}{3}$ C、 $\frac{125 \sqrt{15} π}{192}$ D、 $\frac{125 \sqrt{15} π}{64}$

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8. 在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语） $+ 2$ （物理、历史）选 $1 + 4$ （化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、多选题

9. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右两个焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，直线 $y = k x (k \neq 0)$ 与C交于 $A 、 B$ 两点， $A E ⊥ x$ 轴，垂足为E ，直线 $B E$ 与C的另一个交点为P ，则下列结论正确的是（）

A、四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 为平行四边形 B、 $∠ F_{1} P F_{2} < 90 °$ C、直线 $B E$ 的斜率为 $\frac{k}{2}$ D、 $∠ P A B > 90 °$

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10. 已知定义在R上的奇函数，满足 $f (2 - x) + f (x) = 0$ ，当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = - \log_{2} x$ ，若函数 $F (x) = f (x) - \tan (π x)$ ，在区间 $[- 1 ， m]$ 上有10个零点，则m的取值可以是（）

A、3.8 B、3.9 C、4 D、4.1

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11. 知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ ，则下述结论中正确的是（）

A、若 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有4个零点，则 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有2个极小值点 B、若 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有4个零点，则 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{2 π}{15})$ 上单调递增 C、若 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有4个零点，则 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{15}{8} ， \frac{19}{8})$ D、若 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{4}$ 对称，且在 $(\frac{π}{18} ， \frac{5 π}{36})$ 单调，则 $ω$ 的最大值为9

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12. 函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (2) > f (3)$ B、 $\ln π > \sqrt{\frac{π}{e}}$ C、若 $f (x) = m$ 有两个不相等的实根 $x_{1} 、 x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2} < e^{2}$ D、若 $2^{x} = 5^{y} ， x 、 y$ 均为正数，则 $2 x < 5 y$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2, 2)$ ， $\vec{b} = (8, - 6)$ ，则 $\tan < \vec{a}, \vec{b} > =$ ．

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14. 写一个焦点在 $y$ 轴上且离心率为 $\sqrt{3}$ 的双曲线方程．

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15. 在三棱锥 $S - A B C$ 中， $△ A B C$ 是边长为 $2$ 的等边三角形， $△ S A B$ 是以 $A B$ 为斜边的直角三角形，二面角 $S - A B - C$ 的大小为 $60^{\circ}$ ，则该三棱锥外接球的表面积为．

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16. 国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．某市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的240个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：

垃圾量 $x$	$[12.5, 15.5)$	$[15.5, 18.5)$	$[18.5, 21.5)$	$[21.5, 24.5)$	$[24.5, 27.5)$	$[27.5, 30.5)$	$[30.5, 33.5)$
频数	5	6	9	12	8	6	4

通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值 $\bar{x} =$ （精确到 $0.1$ ）；假设该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均值 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ，经计算得 $s = 5.2$ ．请利用正态分布知识估计这240个社区中“超标”社区的个数．

参考数据： $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ； $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ； $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9974$ .

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四、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，给出条件：
① $S_{n} = \frac{3^{n}}{2} + m (m \in R)$ ；② $S_{n} = \frac{1}{2} a_{n + 1} + m (m \in R)$ ，且 $a_{1} = 1$ ．若___________________，请在这两个条件中选一个填入上面的横线上并解答.

(1)、求 $m$ 的值及数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n} + 1) (a_{n + 1} + 1)}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知： $b = \sqrt{5} ， c = \sqrt{2} ， ∠ B = 45 °$ ．

(1)、求边 $B C$ 的长和三角形 $A B C$ 的面积；

(2)、在边 $B C$ 上取一点D ，使得 $\cos ∠ A D B = \frac{4}{5}$ ，求 $\tan ∠ D A C$ 的值．

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19. 如图，在圆柱 $O O_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 是其轴截面， $E F$ 为⊙ $O_{1}$ 的直径，且 $E F ⊥ C D$ ， $A B = 2$ ， $B C = a (a > 0)$ ．

(1)、求证： $B E = B F$ ；

(2)、若直线 $A E$ 与平面 $B E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求二面角 $A - B E - F$ 平面角的余弦值．

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20. 为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础．在产业扶贫政策的大力支持下，某玩具厂对原有的生产线进行技术升级，为了更好地对比升级前和升级后的效果，其中甲生产线继续使用旧的生产模式，乙生产线采用新的生产模式．质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各100件玩具，在抽取的200件玩具中，根据检测结果将它们分为“A”、“B”、“C”三个等级， $A, B$ 等级都是合格品，C等级是次品，统计结果如表所示：

等级

A

B

C

频数

100

75

25

（表二）

合格品

次品

合计

甲

80

乙

5

合计

在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由厂家自行销毁．

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

$P (K^{2} \geq k_{0})$

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

$k_{0}$

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(1)、请根据所提供的数据，完成上面的 $2 \times 2$ 列联表（表二），并判断是否有 $99.5 %$ 的把握认为产品的合格率与技术升级有关？

(2)、每件玩具的生产成本为20元， $A, B$ 等级产品的出厂单价分别为m元、40元．若甲生产线抽检的玩具中有35件为A等级，用样本的频率估计概率，若进行技术升级后，平均生产一件玩具比技术升级前多盈利12元，则A等级产品的出产单价为多少元？

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21. 已知函数 $f (x) = x - \ln x - a$ 有两个相异零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．

(1)、求a的取值范围．

(2)、求证： $x_{1} + x_{2} < \frac{4 a + 2}{3}$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $P$ 为坐标原点， $M (\sqrt{3} ， 0)$ ，已知平行四边形 $O M N P$ 两条对角线的长度之和等于4．

(1)、求动点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、过 $M (\sqrt{3} ， 0)$ 作互相垂直的两条直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与动点 $P$ 的轨迹交于 $A$ 、 $B$ ， $l_{2}$ 与动点 $P$ 的轨迹交于点 $C$ 、 $D$ ， $A B$ 、 $C D$ 的中点分别为 $E$ 、 $F$ ；
①证明：直线 $E F$ 恒过定点，并求出定点坐标．

②求四边形 $A C B D$ 面积的最小值．

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

等级	A	B	C
频数	100	75	25

	合格品	次品	合计
甲	80
乙		5
合计