广东省2021届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2021-05-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2^{x} > 4}$ ，集合 $B = {x ∣ x < a}$ ，若 $A \cup B = R$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 4)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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2. 已知复数 $z = \frac{i}{2 + i} + i$ ( $i$ 为虚数单位)，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5} + 1$ D、 $\sqrt{10}$

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3. 2020年12月4日是第七个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，连续答对两道题的概率为 $\frac{1}{2}$ .用事件 $A$ 表示“甲同学答对第一道题”，事件 $B$ 表示“甲同学答对第二道题”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 某一次乒乓球赛的参赛队共有5小组，每小组3队.首先每小组中各队进行单循环比赛(即每两队比赛一次)，然后各小组的第一名再进行单循环比赛，则先后比赛的总次数为（）

A、15 B、20 C、25 D、30

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5. 函数 $y = \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢？”题意为：有一堵墙厚五尺，有两只老鼠从墙的正对面打洞穿墙.大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的2倍；小老鼠第一天也打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的一半.若这一堵墙厚 $16$ 尺，则几日后两鼠相逢（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为 $2 \sqrt{3}$ 的同一个球的球面上，则该圆柱体积的最大值为（）

A、32π B、 $\frac{32 π}{3}$ C、10π D、24π

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8. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为4，焦距为 $2 \sqrt{2}$ .过椭圆 $C$ 的上端点 $B$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 的两条切线，与椭圆 $C$ 分别交于另外两点 $M$ ， $N$ .则 $△ B N M$ 的面积为（）

A、6 B、 $\frac{144}{25}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{15}{2}$

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二、多选题

9. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $B_{1} C$ 与直线 $A F$ 垂直 B、平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{2}$ C、三棱锥 $F - A G E$ 的体积为 $2$ D、点 $A_{1}$ 与点 $G$ 到平面 $A E F$ 的距离相等

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10. 将函数 $f (x) = \sin x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > 0)$ ，得到函数 $g (x)$ 的图象.若 $g (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的值域为 $[- \frac{1}{2} ， 1]$ ，则（）

A、 $g (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上有两个零点 B、 $g (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上有两个极值点 C、 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增 D、 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{2}{3} ， \frac{4}{3}]$

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11. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + 2 b = 1$ ，则（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $2^{a + b} > 2$ D、 $\log_{2} a + \log_{2} b \leq - 3$

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12. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x - 1)$ 与 $f (x + 1)$ 都为奇函数，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是周期为2的周期函数 B、 $f (x)$ 是周期为4的周期函数 C、 $f (x + 2)$ 为奇函数 D、 $f (x + 3)$ 为奇函数

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三、填空题

13. 曲线 $y = \frac{1}{x} - \ln x$ 在 $x = 1$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为.

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14. 已知 $θ$ 为第二象限角，且 $\sin (\frac{θ}{2} + \frac{π}{4}) = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，则 $\tan θ =$ .

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15. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $A C = 3$ ， $\cos A = \frac{1}{4}$ ，点 $E$ 在直线 $B C$ 上，且满足： $\vec{B E} = \vec{A B} + l \vec{A C} (l \in R)$ ，则 $| \vec{A E} | =$ .

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16. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l$ 过点 $F$ 且与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，分别过 $A$ ， $B$ 两点作抛物线 $C$ 的切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，设直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 交于点 $P (x_{0} ， y_{0})$ ，则 $y_{0} =$ ， $Δ P A B$ 面积的最小值为.

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角A ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $3 \sin C + 2 \sqrt{3} \sin^{2} \frac{C}{2} = \sqrt{3}$ ， $c = 2 \sqrt{3}$ ， ▲ ，求 $△ A B C$ 的周长.
从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解.条件①： $2 \vec{A B} \cdot \vec{A C} = b c$ ；条件②： $S_{△ A B C} = \sqrt{3} a$ ，条件③： $a (a \cos C + c \cos A) = \frac{\sqrt{3}}{2} b^{2}$ .

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 4$ ， $a_{n + 2} = 4 a_{n + 1} - 4 a_{n}$ .

(1)、证明： ${a_{n + 1} - 2 a_{n}}$ 为等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 如图， $A B$ 是半圆 $E$ 的直径， $C$ 是半圆 $E$ 上异于 $A ， B$ 的一点，点 $D$ 在线段 $A C$ 上，满足 $D E ⊥ A B$ ，且 $P A ⊥ P C$ ， $∠ B A C = ∠ P A C = 30^{\circ}$ ， $A B = 4$ ， $P B = \sqrt{7}$ .

(1)、证明： $B C ⊥ P A$ ；

(2)、求二面角 $D - P E - B$ 的余弦值.

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20. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{3}{2}$ ，过双曲线 $C$ 的右焦点 $F$ 作渐近线的垂线，垂足为 $N$ ，且 $△ F O N$ ( $O$ 为坐标原点)的面积为 $\sqrt{5}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $P$ ， $Q$ 是双曲线 $C$ 上的两点，且 $P$ ， $Q$ 关于原点对称， $M$ 是双曲线上异于 $P$ ， $Q$ 的点.若直线 $M P$ 和直线 $M Q$ 的斜率均存在，则 $k_{M P} \cdot k_{M Q}$ 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

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21. 城市大气中总悬浮颗粒物(简称TSP)是影响城市空气质量的首要污染物，我国的《环境空气质量标准》规定，TSP日平均浓度(单位：

{μg/m}^{3}

)在

[0, 120]

时为一级水平，在

(120, 300]

时为二级水平.为打赢蓝天保卫战，有效管控和治理那些会加重TSP日平均浓度的扬尘污染刻不容缓.扬尘监测仪与智能雾化喷淋降尘系统为城市建筑工地的有效抑尘提供了技术支持.某建筑工地现新配置了智能雾化喷淋降尘系统，实现了依据扬尘监测仪的TSP日平均浓度进行自动雾化喷淋，其喷雾头的智能启用对应如下表：

TSP日平均浓度 $X / ({μg/m}^{3})$	$X \leq 80$	$80 < X \leq 120$	$120 < X \leq 200$	$200 < X \leq 300$	$X > 300$
喷雾头个数 $Y /$ 个	20	50	80	110	150

根据以往扬尘监测数据可知，该工地施工期间TSP日平均浓度 $X$ 不高于 $80 {μg/m}^{3}$ ， $120 {μg/m}^{3}$ ， $200 {μg/m}^{3}$ ， $300 {μg/m}^{3}$ 的概率分别为0.15，0.35，0.7，0.95.

(1)、若单个喷雾头能实现有效降尘

8 m^{3}

，求施工期间工地能平均有效降尘的立方米数.

(2)、若实现智能雾化喷淋降尘之后，该工地施工期间TSP日平均浓度

X

不高于

80 {μg/m}^{3}

，

120 {μg/m}^{3}

，

200 {μg/m}^{3}

，

300 {μg/m}^{3}

的概率均相应提升了5%，求：

①该工地在未来10天中至少有2天TSP日平均浓度能达到一级水平的概率；( ${0.6}^{10} \approx 0.006$ ，结果精确到0.001)

②设单个喷雾头出水量一样，如果TSP日平均浓度达到一级水平时，无需实施雾化喷淋，二级及以上水平时启用所有喷雾头150个，这样设置能否实现节水节能的目的？说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + (a - 1) x - a \ln x (a \neq 0)$ .

(1)、当 $a \geq \frac{1}{2}$ 时，证明： $f (x) \geq 0$ ；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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