甘肃省2021届第二次高考诊断理数试卷

试卷更新日期：2021-05-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \frac{x - 1}{x + 2} \leq 0}$ ， $B = {- 2, - 1, 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0, 1}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 ${- 1, 0}$ D、 ${- 2, - 1, 0}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 - 2 i) = 3 + i^{3}$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、-i B、i C、-1 D、1

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3. 已知函数 $f (x) = \sin x + \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ ，则函数 $f (x)$ 的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 双曲线 $\frac{y^{2}}{m} - \frac{x^{2}}{n} = 1 (m > 0, n > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ ，实轴长为2，则 $m - n$ 为（）

A、-1 B、 $1 - \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F ， G$ 分别是棱 $A B ， B C ， C C_{1}$ 的中点， $P$ 是底面 $A B C D$ 内一动点，若直线 $D_{1} P$ 与平面 $E F G$ 不存在公共点，则三角形 $P B B_{1}$ 的面积的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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6. 某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗木，苗木长度与售价如下表：

苗木长度 $x$ (厘米)	38	48	58	68	78	88
售价 $y$ (元)	16.8	18.8	20.8	22.8	24	258.8

由表可知，苗木长度 $x$ (厘米)与售价 $y$ (元)之间存在线性相关关系，回归方程为 $\hat{y} = 0.2 x + \hat{a}$ ，则当苗木长度为150厘米时，售价大约为（）

A、33.3 B、35.5 C、38.9 D、41.5

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7. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若点 $(n, S_{n})$ 在函数 $f (x) = x^{2} + 2 x$ 的图象上，则 $a_{2021} =$ （）

A、2021 B、4041 C、4042 D、4043

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8. 已知 $\sin (α + β) = 1$ ， $α$ ， $β$ 均为锐角，且 $\tan α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $\cos β =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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9. 中国古代制定乐律的生成方法是最早见于《管子·地员篇》的三分损益法，三分损益包含两个含义：三分损一和三分益一.根据某一特定的弦，去其 $\frac{1}{3}$ ，即三分损一，可得出该弦音的上方五度音；将该弦增长 $\frac{1}{3}$ ，即三分益一，可得出该弦音的下方四度音.中国古代的五声音阶：宫､徵(zhǐ)，商､羽､角(jué)，就是按三分损一和三分益一的顺序交替，连续使用产生的.若五音中的“宫”的律数为81，请根据上述律数演算法推算出“羽”的律数为（）

A、72 B、48 C、54 D、64

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10. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，则 $\frac{S_{n}}{a_{n}} =$ （）

A、 $2 - 2^{- n}$ B、 $2 - 2^{1 - n}$ C、 $2 - 2^{n}$ D、 $2 - 2^{n - 1}$

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11. 过抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交与 $A$ ， $B$ 两点，过 $A$ ， $B$ 两点分别作抛物线 $C$ 准线的垂线，垂足分别为 $M$ ， $N$ ，若线段 $M N$ 的中点为 $P$ ，且线段 $F P$ 的长为4，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ B、 $x - \sqrt{3} y - 1 = 0$ C、 $x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ 或 $x - \sqrt{3} y - 1 = 0$ D、 $\sqrt{3} x - y - \sqrt{3} = 0$ 或 $\sqrt{3} x + y - \sqrt{3} = 0$

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12. 已知函数 $f (x) = x \ln x$ ， $g (x) = x^{2} + a x (a \in R)$ ，若经过点 $A (1 ， 0)$ 存在一条直线 $l$ 与 $f (x)$ 图象和 $g (x)$ 图象都相切，则 $a =$ （）

A、0 B、-1 C、3 D、-1或3

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二、填空题

13. 平面内单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ =.

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14. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y + 1 \geq 0 \\ x - 1 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = a x + b y (a > b > 0)$ 取最大值4时， $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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15. 孙子定理(又称中国剩余定理)是中国古代求解一次同余式组的方法.问题最早可见于南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题“物不知数”问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？它的基本解法之一是：列出用3整除余2的整数：2，5，8，11，14，17，20，23…，用5整除余3的整数：3，8，13，18，23，…，用7整除余2的整数：2，9，16，23…，则23就是“问物几何？”中“物”的最少件数，“物”的所有件数可用 $105 n + 23 (n \in N)$ 表示.试问：一个数被3除余1，被4除少1，被5除余4，则这个数最小是.

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16. 三棱锥 $P - A B C$ 的底面是边长为3的正三角形，面 $P A B$ 垂直底面 $A B C$ ，且 $P A = 2 P B$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 体积的最大值是.

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三、解答题

17. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形，且 $A A_{1} = 3$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $C C_{1}$ ， $B D_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $E F ⊥$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ ；

(2)、若 $∠ D A B = 60 °$ ，求二面角 $A_{1} - B E - D_{1}$ 的余弦值.

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18. 某校为了解高三学生周末在家学习情况，随机抽取高三年级甲､乙两班学生进行网络问卷调查，统计了甲､乙两班各40人每天的学习时间(单位：小时)，并将样本数据分成

[3 ， 4)

，

[4 ， 5)

，

[5 ， 6)

，

[6 ， 7)

，

[7 ， 8]

五组，整理得到如下频率分布直方图：

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

参考数据①：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828

②若 $X \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ .

(1)、将学习时间不少于6小时和少于6小时的学生数填入下面的

2 \times 2

列联表：

	不少于6小时	少于6小时	总计
甲班
乙班
总计

能以95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关吗？为什么？

(2)、此次问卷调查甲班学生的学习时间大致满足

ξ \sim N (μ ， 0.36)

，其中

μ

等于甲班学生学习时间的平均数，求甲班学生学习时间在区间

(6.2 ， 6.8]

的概率.

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19. 已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 经过椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点 $F_{2}$ ，且经过点 $F_{2}$ 作圆 $O$ 的切线被椭圆 $C$ 截得的弦长为 $\sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若点 $A$ ， $B$ 是椭圆 $C$ 上异于短轴端点的两点，点 $M$ 满足 $\vec{O M} = \vec{O A} + \vec{O B}$ ，且 ${\vec{O M}}^{2} + {\vec{A B}}^{2} = 6$ ，试确定直线 $O A$ ， $O B$ 斜率之积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.

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20. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sqrt{3} a - c \sin B = \sqrt{3} b \cos C$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 3$ ， $D$ 为 $A C$ 边上一点， $B D = 2$ ，且________，求 $△ A B C$ 的面积.(从① $B D$ 为 $∠ B$ 的平分线，② $D$ 为 $A C$ 的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答)

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x - x \ln x$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $n \in N_{+}$ ，求证： $(1 + \frac{1}{3}) (1 + \frac{1}{3^{2}}) (1 + \frac{1}{3^{3}}) \dots (1 + \frac{1}{3^{n}}) < \sqrt{e}$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 是曲线 $C_{1} : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 上的动点，满足 $2 \vec{O B} = \vec{O A}$ 的点 $B$ 的轨迹是 $C_{2}$ .

(1)、以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、直线 $l$ 的参数方程是 ${\begin{array}{l} x = - 1 + t \cos α \\ y = t \sin α \end{array}$ ( $t$ 为参数)，点 $P$ 的直角坐标是 $(- 1, 0)$ ，若直线 $l$ 与曲线 $C_{2}$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，当 $| P M | \cdot | P N | = | M N |^{2}$ 时，求 $\cos α$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | + 2 | x + 1 |$ ， $x \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = 6$ 围成区域的面积；

(2)、若对于 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $m + n = 4$ 时，不等式 $f (x) \geq m n$ 恒成立，求实数 $x$ 的取值范围.

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