江苏省吴江2020-2021学年高一下学期期中数学试题

试卷更新日期：2021-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90°的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60°；⑥若 $α = 5$ ，则 $α$ 是第四象限角．其中正确命题的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 若i为虚数单位，复数z满足 $1 \leq | z + 1 + i | \leq \sqrt{2}$ ，则 $| z - 1 - i |$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2} - 1$ B、 $2 \sqrt{2} + 1$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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3. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}) ， A (\frac{1}{2} ， 0)$ 为其图像的对称中心，B ， C是该图像上相邻的最高点和最低点，若BC=4，则f（x）的单调递增区间是（）

A、 $(2 k π - \frac{π}{2} ， 2 k π + \frac{3 π}{2}) ， k \in Z$ B、 $(2 k - \frac{1}{2} ， 2 k + \frac{3}{2}) ， k \in Z$ C、 $(4 k π - \frac{π}{2} ， 4 k π + \frac{3 π}{2}) ， k \in Z$ D、 $(4 k - \frac{1}{2} ， 4 k + \frac{3}{2}) ， k \in Z$

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4. 欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现： $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ （e为自然对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知， $e^{- i π} =$ （）

A、1 B、0 C、-1 D、 $1 + i$

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5. 甲船在湖中B岛的正南A处， $A B = 12 km$ ，甲船以 $8km/h$ 的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以 $8km/h$ 的速度向北偏东 $60 °$ 方向驶去，则行驶半小时，两船的距离是（）

A、 $4 \sqrt{5 - 2 \sqrt{3}} km$ B、 $4 \sqrt{3} km$ C、 $4 \sqrt{7} km$ D、 $4 \sqrt{5 + 2 \sqrt{3}} km$

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6. 已知 $α, β (0, π)$ ，且 $\tan (α - β) = \frac{1}{3}, \tan β = \frac{1}{7}$ ，则 $2 α - β$ 的值是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{5 π}{4}$ D、 $\frac{7 π}{4}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所以对的边分别为a ， b ， c ，若 $\sin B \sin C = \sqrt{3} \sin A$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $a + b = 3 \sqrt{3}$ ，则 $c =$ （）

A、 $\sqrt{21}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{21}$ 或 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{21}$ 或3

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8. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 1$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 1$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $\vec{O A} + 2 \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $\vec{A O} \cdot \vec{B C}$ 的值为（）

A、-4 B、-1 C、1 D、4

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二、多选题

9. 已知复数 $z = 3 \cos α + i \cos 2 α (0 < α < 2 π)$ 的实部与虚部之和为 $- 2$ ，则 $α$ 的取值可能为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、π D、 $\frac{5 π}{3}$

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10. 在 $△ A B C$ 中， $\sin C + \sin (A - B) = 3 \sin 2 B$ .若 $C = \frac{π}{3}$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值可以等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、3

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11. 甲，乙两楼相距 $20m$ ，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为 $60 °$ ，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 $30 °$ ，则下列说法正确的有（）

A、甲楼的高度为 $20 \sqrt{3} m$ B、甲楼的高度为 $10 \sqrt{3} m$ C、乙楼的高度为 $\frac{40 \sqrt{3}}{3} m$ D、乙楼的高度为 $10 \sqrt{3} m$

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12. 已知函数 $f (x) = \sin^{4} x + \cos^{2} x$ ，则下列说法正确的是（）

A、最小正周期是 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{4} ， 0)$ 上递增 D、 $x = \frac{π}{8}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴

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三、填空题

13. 定义运算 $| \begin{array}{l} a b \\ c d \end{array} | = a d - b c$ ，则符合条件 $| \begin{array}{l} z 1 + i \\ - i 2 i \end{array} | = 0$ 的复数 $\bar{z}$ 对应的点在第象限．

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14. 在 $△ A B C$ 中， $O A = O B = 1, ∠ A O B = \frac{2 π}{3}$ ，若 $\vec{O C} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}, | \vec{O C} | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $λ + μ$ 的取值范围为．

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15. 若函数 $f (x) = m \sin 2 x + 3 \cos 2 x$ 的图象关于点 $(\frac{3 π}{8}, 0)$ 对称，则实数 $m =$ ．

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16. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边a ， b ， c为三个连续偶数，且 $C = 2 A$ ，则 $a =$ 最大角的余弦值为．

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四、解答题

17. 已知 $k \in R$ ，向量 $\vec{a} = (1, 1 + k), \vec{b} = (k, 2)$ ．

(1)、若向量 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 平行，求k的值；

(2)、若向量 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，求k的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + φ) (ω > 0, - \frac{π}{2} \leq φ < \frac{π}{2})$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，且图象相邻两个最高点的距离为 $π$ ．

(1)、求 $ω$ 和 $φ$ 的值；

(2)、若 $f (\frac{α}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4} (\frac{π}{6} < α < \frac{2 π}{3})$ ，求 $\cos (α - \frac{π}{3})$ 的值．

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19. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别是a ， b ， c ，且 $B = \frac{π}{3}$ ．

(1)、若 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = \frac{3}{2} ， b = \sqrt{3}$ ，求 $a + c$ 的值；

(2)、求 $2 \sin A - \sin C$ 的取值范围．

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20. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $a \sin 2 B = b \sin A .$

(1)、若 $a = 3 ， b = \sqrt{7}$ ，求 $c$ ；

(2)、求 $\frac{a \cos C - c \cos A}{b}$ 的取值范围.

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21. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足 $\vec{OC} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OB}$ ．

(1)、求证：A、B、C三点共线；

(2)、已知 $A (1 ， cosx)$ 、 $B (1 + sinx ， cosx)$ ， $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ， $f (x) = \vec{OA} \cdot \vec{OC} + (2 m + \frac{1}{3}) | \vec{AB} | + m^{2}$ 的最小值为5，求实数m的值．

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22. 如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为 $45 °$ ，沿倾斜角为 $α$ （其中 $\tan α = \frac{1}{3}$ ）的斜坡前进 $\sqrt{10} km$ 后到达D处，休息后继续行驶 $\sqrt{10} km$ 到达山顶B ．

(1)、求山的高度 $B E$ ；

(2)、现山顶处有一塔 $C B = \frac{1}{4} km$ 从A到D的登山途中，队员在点P处测得塔的视角为 $θ （ ∠ C P B = θ ）$ 若点P处高度 $P F = x km$ ，则x为何值时，视角 $θ$ 最大？

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