江苏省园三2020-2021学年高一下学期数学3月月考试卷

试卷更新日期：2021-05-12 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (1, m), \vec{b} = (2, - 1)$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ （）

A、3 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、-3

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2. 已知 $Δ A B C$ 中， $c^{2} = a^{2} + b^{2} - \sqrt{3} a b$ ，那么角 $C$ 的大小是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3. 已知角 $α$ 终边上一点M的坐标为 $(1, \sqrt{3})$ ，则 $\cos 2 α$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形模板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），每块木板依次比上一块木板长2厘米，最大的边长约24厘米（称十二指）观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则 $\cos 2 α$ 约为（）

A、 $\frac{12}{35}$ B、 $\frac{12}{37}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{35}{37}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{6}{x} - \log_{2} x$ 的零点所在区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(4 ， + \infty)$

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6. 已知 $\overset{⇀}{AB} = (3 ， - 1) ， \vec{n} = （ 2 ， 1 ）$ ，且 $\vec{n}$ • $\overset{⇀}{A C} =$ 7，则 $\overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{B C} =$ （）

A、-2 B、2 C、-2或2 D、0

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7. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - 1$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} 2 a \sin x \cdot \cos x ， x > 0 \\ x^{2} + \frac{1}{2} a ， x \leq 0 \end{array} ， a \in R$ ，若对任意 $x_{1} \in R$ ，总存在 $x_{2} \in R$ ，使 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 1] \cup [1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， - \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2} ， + \infty) \cup (- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)$

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8. 已知 $α \in [0 ， π] ， β \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ ，且 $α^{3} - \cos α - λ = 0 ， {(\frac{π}{2} - 2 β)}^{3} - 2 \sin β \cos β - λ = 0$ ，若 $\cos α = \frac{4}{5}$ ，则 $\tan β =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、3

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二、多选题

9. 下列计算结果为有理数的有（）

A、 $\log_{2} 3 \cdot \log_{3} 2$ B、 $e^{\ln 2 - 1}$ C、 $\lg 2 + \lg 5$ D、 $\sqrt{3} \cos \frac{π}{12} - \sin \frac{π}{12}$

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10. 已知函数 $f (x) = | \sin x | + \sqrt{3} | \cos x |$ ，则下列说法中正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为 $[\sqrt{3} ， 2]$ B、直线 $x = 0$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ D、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{9 π}{10} ， \frac{10 π}{9}]$ 上是增函数

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11. 设函数 $f (x) = \frac{\sin x \cos x}{2 + \cos 2 x}$ ，则下列说法中正确的有（）

A、 $f (x) = f (x + π)$ B、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $f (x)$ 关于 $(0 ， 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 无最小值

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12. 如图， $4 \times 6$ 的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量 $\vec{O A}$ （以图中的格点O为起点，格点A为终点），则下列说法正确的有（）

A、满足 $| \vec{O A} - \vec{O B} | = \sqrt{10}$ 的格点B共有4个 B、存在格点B，C，使得 $\vec{O A} = \vec{O B} + \vec{O C}$ C、满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 1$ 的格点B共有4个 D、以图中的格点为起点和终点的向量中，与 $\vec{O A}$ 是相反向量的共有18个

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三、填空题

13. 设α∈{﹣2，﹣1， $- \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ，1，2}．使y＝x^a为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值为．

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14. 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的角为 $θ$ ．那么 $\tan (θ + \frac{π}{4}) =$ ．

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15. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $b^{2} + c^{2} = 2 a^{2}$ ，则 $\cos A$ 的最小值为．

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16. 在平面四边形 $O A B C$ 中，已知 $| \vec{O A} | = \sqrt{3}$ ， $O A ⊥ O C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，若 $\vec{O B} \cdot \vec{A C} = 6$ ，则 $| \vec{O C} | =$ .

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = g (x) h (x)$ ，其中 $g (x) = 2 \sqrt{2} \sin x ， h (x) =$ ________．
从① $\cos (x + \frac{π}{4})$ ；② $\sin^{2} (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，

注：如果选择多个条件分别解答．按第一个解答计分．

(1)、写出函数 $f (x)$ 的一个周期（不用说明理由）；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值和最小值．

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18. 已知 $\vec{a} = (\sin (x - \frac{π}{4}), \sqrt{2}), \vec{b} = (7, 10), x \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4})$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ．

(1)、求 $\sin x$ 的值；

(2)、求 $\cos (2 x + \frac{π}{6})$ 的值．

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19. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D ， C D = 2 ， △ A B C$ 是边长为3的等边三角形．

(1)、求 $A D$ 的长及 $\cos ∠ D A C$ ；

(2)、求 $\sin ∠ D A B$ 的值．

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20. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{2 π}{3}]$ 上的最大值；

(2)、已知 $h (x) = f (x - \frac{π}{6})$ ，若不等式 $h (x) + \cos x - m < 0$ 在 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 上恒成立，求实数m的取值范围．

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21. 为落实《中共中央、国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，加快构建德智体美劳全面培养的教育体系，开齐、开足、开好德育、体育、美育、劳动教育课程，某校成立了劳技兴趣小组．为了迎接“五一”晚会，该小组制作了一个半径为R的圆形灯箱，其发光部分为该圆内的一个关于圆心对称的“H”型，“H”型由竖、横、竖三个等宽的矩形组成，两个竖直矩形全等且它们的长边是横向矩形的长边的 $\sqrt{3}$ 倍，设O为圆心， $∠ A O B = 2 α$ ，“H”型的面积记为S．

(1)、将S表示为 $α$ 的函数；

(2)、为了使得灯箱亮度最大，设计时应使S尽可能大，则当 $α$ 为何值时，S最大？

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22. 已知函数 $f (x) = \sin x + \cos x$ ， $g (x) = \sin 2 x - f (x)$ ．

(1)、当 $x \in [- \frac{π}{2} ， 0]$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域；

(2)、设 $h (x) = \frac{9^{x} - 1}{9^{x} + 1}$ ，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，不等式 $m h (\frac{x}{2}) - h (x) > 0$ 恒成立，设实数 $m$ 的取值范围对应的集合为 $M$ ，若在（1）的条件下，恒有 $a g (x) \notin M$ （其中 $a > 0$ ），求实数 $a$ 的取值范围．

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