天津市河北区2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列结论中，正确的是（）

A、若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B、若向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 都是单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、若向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是平行向量，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相同 D、若两个向量相等，则它们的模相等

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2. 已知向量 $\vec{a} = (2, 4)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(5, 7)$ B、 $(5, 9)$ C、 $(3, 7)$ D、 $(3, 9)$

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3. 已知 $i$ 是虚数单位，则 $\frac{2 i}{1 - i} =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $- 1 - i$

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4. 如图所示，已知在 $△ A B C$ 中，D是边AB上的中点，则 $\vec{C D} =$ （）

A、 $\vec{B C} - \frac{1}{2} \vec{B A}$ B、 $- \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B A}$ C、 $- \vec{B C} - \frac{1}{2} \vec{B A}$ D、 $\vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B A}$

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5. 下面给出的命题中，正确的个数是（）
①一个棱柱至少有5个面②平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形③正棱锥的侧面是全等的等腰三角形④有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 用斜二测画法画水平放置的 $△ A B C$ 的直观图 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 如图所示，则在 $△ A B C$ 的三边及中线AD中，最长的线段是（）

A、AB B、AD C、BC D、AC

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7. 棱长为a的正四面体的表面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{12} a^{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{8} a^{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ D、 $\sqrt{3} a^{2}$

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8. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a = \sqrt{2}$ ， $b = 2$ ， $A = \frac{π}{6}$ ，则满足条件的 $△ A B C$ （）

A、无解 B、有一个解 C、有两个解 D、不能确定

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9. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $b = 2 a \cos C$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、以上均不正确

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10. 如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为（）km.

A、 $\frac{8 \sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{15}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{15}}{3}$ D、2 $\sqrt{5}$

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二、填空题

11. 已知i是虚数单位，则复数 $1 + 2 i$ 在复平面内对应的点的坐标为.

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12. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (2, λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ$ 的值为.

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13. 已知 $| \vec{a} | = 6$ ， $\vec{e}$ 为单位向量，若向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{e}$ 的夹角为 $135 °$ ，则向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{e}$ 上的投影向量为.

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14. 长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，则三棱锥 $D_{1} - A B C$ 的体积为.

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15. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $A C = 2$ ， $(\vec{A B} + \vec{A C}) \cdot \vec{A B} = 2$ ，则角A的大小为.

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三、解答题

16. 已知向量 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、求 $\vec{a \cdot} \vec{b}$ 及 $| \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(2)、求 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3 \vec{b})$ .

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17. 已知复数 $z = (m^{2} - m) + (m - 1) i (m \in R)$ .

(1)、若 $z$ 为实数，求 $m$ 值；

(2)、若 $z$ 为纯虚数，求 $m$ 值；

(3)、若复数 $z$ 对应的点在第一象限，求 $m$ 的范围.

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a = 2$ ， $\cos B = \frac{3}{5}$ .

(1)、若 $b = 4$ ，求 $\sin A$ 的值及 $△ A B C$ 的外接圆半径；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为4，求b和c的值.

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19. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 $\vec{m} = (\cos A, \sin B)$ ， $\vec{n} = (a, \sqrt{3} b)$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ， $b = 2$ ，求边c和 $△ A B C$ 的面积.

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