江苏省张家港市2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x) = \sin ω x - \cos ω x$ ( $ω \in R$ )的最小正周期为 $π$ ，则实数 $ω =$ （）

A、2 B、-2 C、±2 D、±1

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2. 复数 $6 + 5 i$ 与 $- 3 + 4 i$ 分别表示向量 $\vec{O A}$ 、 $\vec{O B}$ ，则表示向量 $\vec{B A}$ 的复数在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 5$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、4 B、 $\sqrt{17}$ C、 $\sqrt{19}$ D、5

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4. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2 \sin α)$ ， $\vec{b} = (\cos α, \sin α)$ ， $α \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $α =$ （）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、π D、 $\frac{4 π}{3}$

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5. 函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + 2 \cos^{2} x + 3$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值是（）

A、 $4 - \sqrt{3}$ B、3 C、5 D、6

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6. 在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，E为 $A D$ 的中点，则 $\vec{E C} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C}$ B、 $- \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C}$

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7. 若平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 两两的夹角相等，且 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{c} | = 4$ ，则 $| 2 \vec{a} + 2 \vec{b} - \vec{c} | =$ （）

A、0 B、6 C、0或 $\sqrt{6}$ D、0或6

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8. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ，E为 $A D$ 的中点，过点E的直线分别交直线 $A B ， A C$ 于不同的两点M，N ．设 $\vec{A B} = m \vec{A M}$ ， $\vec{A C} = n \vec{A N}$ ，复数 $z = m + n i (m ， n \in R)$ ，当 $| z |$ 取到最小值时，实数m的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、2 D、 $\frac{12}{5}$

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二、多选题

9. 下列关于复数 $z$ 的四个命题，真命题的为（）

A、若 $\frac{1}{z} \in R$ ，则 $z \in R$ B、若 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ C、若 $| z - i | = 1$ ，则 $| z |$ 的最大值为 $2$ D、若 $z^{3} - 1 = 0$ ，则 $z = 1$

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10. 在 $△ A B C$ 内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ， $B = \frac{π}{4}$ ， $B C$ 边上的高等于 $\frac{a}{3}$ ，则以下四个结论正确的是（）

A、 $\cos C = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\sin A = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ C、 $\tan A = 3$ D、 $b^{2} - c^{2} = \frac{a^{2}}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = | \sin x | + | \cos x |$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ C、 $f (x)$ 的值域为 $[1 ， \sqrt{2}]$ D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4}]$ 上单调递减

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12. 奔驰定理：已知 $O$ 是 $△ A B C$ 内的一点， $△ B O C$ ， $△ A O C$ ， $△ A O B$ 的面积分别为 $S_{A} ， S_{B} ， S_{C}$ ，则 $S_{A} \cdot \vec{O A} + S_{B} \cdot \vec{O B} + S_{C} \cdot \vec{O C} = \vec{0}$ ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车( $M e r c e d e s$ $b e n z$ )的 $l o g o$ 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若 $O$ 是锐角 $△ A B C$ 内的一点， $A ， B ， C$ 是 $△ A B C$ 的三个内角，且点 $O$ 满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ，则（）

A、 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心 B、 $∠ A O B = π - C$ C、 $| \vec{O A} | ： | \vec{O B} | ： | \vec{O C} | = \sin A ： \sin B ： \sin C$ D、 $\tan A \cdot \vec{O A} + \tan B \cdot \vec{O B} + \tan C \cdot \vec{O C} = \vec{0}$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (λ, 4)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ ．

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14. 已知对任意平面向量 $\vec{A B} = (x, y)$ ，把 $\vec{A B}$ 绕其起点沿逆时针方向旋转 $θ$ 角度得到向量 $\vec{A P} = (x \cos θ - y \sin θ, x \sin θ + y \cos θ)$ ，叫做把点B绕着A沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点P ． $\vec{A B} = (1, \sqrt{3})$ 沿顺时针方向旋转 $\frac{π}{6}$ 得到的向量 $\vec{A P} =$ ．

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15. 已知复数 $z_{1} = 2 + m i$ ， $z_{2} = \tan θ + i \cos 2 θ$ （ $θ$ 为实数），并且 $z_{1} = z_{2}$ ，则实数 $m =$ ．

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16. 如图，已知直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，A是 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的一个定点，并且点A到 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离都为2，B是直线 $l_{2}$ 上的一个动点，作 $A C ⊥ A B$ ，且使 $A C$ 与直线 $l_{1}$ 交于点C ，设 $∠ A B D = θ$ ，则 $△ A B C$ 面积的最小值是， $△ A B C$ 周长的最小值是．

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四、解答题

17.

(1)、已知复数 $- 1 + 3 i$ 是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ $(p, q \in R)$ 的一个根，求 $p + q$ 的值；

(2)、已知复数 $z_{1} = 5 - 10 i$ ， $z_{2} = 3 + 4 i$ ， $\frac{1}{z} = \frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}}$ ，求 $| z |$ ．

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18. 已知 $A B$ 是圆O的一条直径，且 $A B = 2$ ，C，D是直径 $A B$ 同侧的半圆弧上两个三等分点，其中C是靠近A的三等分点．

(1)、求 $| \vec{A B} + \vec{A C} |$ 的值；

(2)、求 $\vec{A D} \cdot \vec{B C}$ 的值．

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19. 圣·索菲亚教堂(SAINT SOPHIA CATHEDRAL)是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，如左图．某校高一数学兴趣小组打算根据所学知识估算索菲亚教堂的高度，他们在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 $A B$ ，测得建筑物 $A B$ 的高度为h ，在它们之间的地面上的点M(B ， M ， D三点共线)处可以测得楼顶A和教堂顶C的仰角分别为 $α$ 和 $β$ ，在楼顶A处可测得塔顶C的仰角为 $γ$ ，且 $A B$ 与 $C D$ 都垂直地面，如右图，那么请你根据他们测得的数据估算索菲亚教堂的高度为多少？（结果用h ， $α$ ， $β$ ， $γ$ 表示）

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20. 已知 $α$ ， $β$ 都是锐角， $\tan α = \frac{1}{7}, \cos (α + β) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求 $\sin β$ ；

(2)、求 $α + 2 β$ ．

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21. 在 $△ A B C$ 中，三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，请在① $2 b \sin (A + \frac{π}{6}) = a + c$ ；② $(2 c - a) \cos B = b \cos A$ ；③ $a^{2} + c^{2} - b^{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} S_{△ A B C}$ 这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：

(1)、若 $3 a + b = 2 c$ ，求 $\cos C$ ；

(2)、若 $b = 2$ 且 $\frac{1}{\sin A} + \frac{1}{\sin C} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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22.

(1)、对于平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，求证： $| \vec{a} \cdot \vec{b} | \leq | \vec{a} | | \vec{b} |$ ，并说明等号成立的条件；

(2)、我们知道求 $f (θ) = \cos θ + \sqrt{3} \sin θ$ 的最大值可化为求 $f (θ) = 2 \sin (θ + \frac{π}{6})$ 的最大值，也可以利用向量的知识，将 $f (θ)$ 构造为两个向量的数量积形式，即：令 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\cos θ ， \sin θ)$ ，则转化为 $f (θ) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求出最大值．利用以上向量的知识，完成下列问题：
①对于任意的 $a, b, c, d \in R$ ，求证： ${(a c + b d)}^{2} \leq (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})$ ；

②求 $f (x) = 3 \sqrt{x - 1} + 4 \sqrt{2 - x}$ 的最值．

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