江苏省星海2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-05-12 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内的对应点关于实轴对称， $z_{1} ＝ 3 + 4 i,$ 则 $z_{1} z_{2} ＝$ （）

A、25 B、-25 C、 $7 - 24 i$ D、 $- 7 - 24 i$

查看试题解析
2. 在 $Δ A B C$ 中， $\cos \frac{C}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5} ， B C = 1 ， A C = 5$ 则 $A B =$ （）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{30}$ C、 $\sqrt{29}$ D、 $2 \sqrt{5}$

查看试题解析
3. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若向量 $\vec{m} = (a, \sqrt{3} b)$ 与 $\vec{n} = (\cos A, \sin B)$ 平行，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2π}{3}$

查看试题解析
4. 已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是相互垂直的单位向量，与 $\vec{a}, \vec{b}$ 共面的向量 $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{c} ＝ \vec{b} \cdot \vec{c} ＝ 2,$ 则 $\vec{c}$ 的模为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

查看试题解析
5. 在 $△ A B C$ 中，已知 $a ， b ， c$ 分别为角 $A, B, C$ 的对边且 $∠ A = 60 ° ，$ 若 $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 且 $2 \sin B = 3 \sin C$ ，则 $△ ABC$ 的周长等于（）

A、 $5 + \sqrt{7}$ B、12 C、 $10 + \sqrt{7}$ D、 $5 + 2 \sqrt{7}$

查看试题解析
6. 已知圆锥的高为3，底面半径为 $\sqrt{3}$ ，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于（）

A、 $\frac{8}{3}$ π B、 $\frac{32}{3}$ π C、16π D、32π

查看试题解析
7. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是棱 $A B$ 、 $A A_{1}$ 的中点， $M$ 、 $N$ 分别是线段 $D_{1} E$ 与 $C_{1} F$ 上的点，则与平面 $A B C D$ 平行的直线 $M N$ 有（）

A、0条 B、1条 C、2条 D、无数条

查看试题解析
8. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = \sqrt{2}$ ， $A C = 2$ ， $E$ 是边 $B C$ 的中点. $O$ 为 $Δ A B C$ 所在平面内一点且满足 ${| \overset{⇀}{O A} |}^{2} = {| \overset{⇀}{O B} |}^{2} = {| \overset{⇀}{O C} |}^{2}$ ，则 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{A O}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

查看试题解析
9. 设 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 为单位向量，满足 $| 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}} | \leq \sqrt{2}, \vec{a} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}, \vec{b} = 3 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，设 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $\cos^{2} θ$ 的可能取值为（）

A、 $\frac{19}{29}$ B、 $\frac{20}{29}$ C、 $\frac{28}{29}$ D、 $\frac{38}{29}$

查看试题解析

二、多选题

10. 在复平面内，下列说法正确的是（）

A、若复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ （i为虚数单位），则 $z^{30} = - 1$ B、若复数z满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ C、若复数 $z = a + b i (a ， b \in R)$ ，则z为纯虚数的充要条件是 $a = 0$ D、若复数z满足 $| z | = 1$ ，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆

查看试题解析
11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列直线或平面与平面 $A C D_{1}$ 平行的是（）

A、直线 $A_{1} B$ B、直线 $B B_{1}$ C、平面 $A_{1} D C_{1}$ D、平面 $A_{1} B C_{1}$

查看试题解析
12. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若 $c - a \cos B = (2 a - b) \cos A$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $A = \frac{π}{2}$ B、 $B = A$ C、 $B = \frac{π}{2}$ D、 $B = C$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (0, - 2), \vec{c} = (- 1, λ)$ ，若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则实数 $λ =$ ．

查看试题解析
14. 已知复数 $z$ 对应的点在复平面第一象限内，甲､乙､丙､丁四人对复数 $z$ 的陈述如下（ $i$ 为虚数单位）：甲： $z + \bar{z} = 2$ ；乙： $z - \bar{z} = 2 \sqrt{3} i$ ；丙： $z \cdot \bar{z} = 4$ ；丁： $\frac{z}{\bar{z}} = \frac{z^{2}}{2}$ .在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数 $z =$ .

查看试题解析
15. 如图，已知正方体ABCD–A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则四棱锥A₁–BB₁D₁D的体积为．

查看试题解析
16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a \sin A + b \sin B = 2 c \sin C$ ，则角 $C$ 的最大值为；若 $c = 2 a = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知 $z$ 为复数， $z + 2 i$ 和 $\frac{z}{2 - i}$ 均为实数，其中 $i$ 是虚数单位.
(Ⅰ)求复数 $z$ 和 $| z |$ ；

(Ⅱ)若 $z_{1} = \bar{z} + \frac{1}{m - 1} - \frac{7}{m + 2} i$ 在第四象限，求 $m$ 的取值范围.

查看试题解析
18. 如图，已知向量 $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b}$ ，点A，B分别是 $S M ， S N$ 的中点．

(1)、试用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{M N}$ ；

(2)、设 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{M N} | \in [2 \sqrt{3} ， 2 \sqrt{7}]$ ，试求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ 的取值范围．

查看试题解析
19. 如图，四边形 $A B C D$ 与四边形 $A D E F$ 为平行四边形， $M ， N ， G$ 分别是 $A B ， A D ， E F$ 的中点，

求证：

(1)、 $B E ∥$ 平面 $D M F$ ；

(2)、平面 $B D E ∥$ 平面 $M N G$ .

查看试题解析
20. 在① $2 a - b = 2 c \cos B$ ，② $S = \frac{\sqrt{3}}{4}$ $(a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ，③ $\sqrt{3} \sin (A + B) = 1 + 2 \sin^{2} \frac{C}{2}$ 三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题.在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，设 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，已知________.

(1)、求角 $C$ 的值；

(2)、若 $b = 4$ ，点 $D$ 在边 $A B$ 上， $C D$ 为 $∠ A C B$ 的平分线， $△ C D B$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求边长 $a$ 的值.

查看试题解析
21. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛 $B$ 与小岛 $A$ 、小岛 $C$ 相距都为 $5n mile$ ，与小岛 $D$ 相距为 $3 \sqrt{5} n mile$ ．小岛 $A$ 对小岛 $B$ 与 $D$ 的视角为钝角，且 $\sin A = \frac{3}{5}$ ．

（Ⅰ）求小岛 $A$ 与小岛 $D$ 之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；

（Ⅱ）记小岛 $D$ 对小岛 $B$ 与 $C$ 的视角为 $α$ ，小岛 $B$ 对小岛 $C$ 与 $D$ 的视角为 $β$ ，求 $\sin (2 α + β)$ 的值．

查看试题解析
22. 在锐角 $Δ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 的对边，且 $4 sin A {cos}^{2} A - \sqrt{3} cos (B + C) = sin 3 A + \sqrt{3}$ ．
（Ⅰ）求 $A$ 的大小；

（Ⅱ）若 $b = 2$ ，求 $Δ A B C$ 面积的取值范围．

查看试题解析