江苏省吴中2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = x + \frac{3}{x} + 2 \ln x$ 的单调递减区间为（）

A、（0，3） B、（0，1） C、（1，3） D、 $(3 ， + \infty)$

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2. 用数字0，1，2，3可以组成无重复数字的四位偶数（）

A、12个 B、10个 C、20个 D、16个

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3. 函数f(x)＝ $\frac{1}{2}$ x－sin x的大致图象可能是（）．

A、 B、 C、 D、

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4. 在 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2} x)}^{n}$ 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中 $x^{5}$ 的系数为（）

A、-7 B、 $- \frac{35}{8}$ C、 $\frac{35}{8}$ D、7

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5. 已知函数 $f (x) = x^{2}$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线与函数 $g (x) = \frac{e^{x}}{a}$ 的图象相切，则实数 $a =$ （）

A、 $\sqrt{e}$ B、 $\frac{e \sqrt{e}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{e}}{2}$ D、 $e \sqrt{e}$

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6. 将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）

A、315 B、640 C、840 D、5040

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7. 已知函数 $f (x) = e^{2 x - 1} ， g (x) = \frac{1}{2} + \ln x$ ，若 $f (m) = g (n)$ ，则 $m - n$ 的最大值是（）

A、 $- \frac{\ln 2 + 1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ - $\sqrt{e}$ C、 $\frac{\ln (2 e)}{2}$ D、- $\sqrt{e}$ - $\frac{1}{2}$

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8. 已知 $g (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{10} x^{10} ， h (x) = b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + \dots + b_{9} x^{9}$ ，若 $(1 + x) {(1 - 2 x)}^{19} = {(1 - x)}^{10}$ $g (x) + h (x)$ ，则 $a_{9} =$ （）

A、 $2^{19}$ B、 $10 \times 2^{19}$ C、 $- 10 \times 2^{18}$ D、 $- 3 \times 2^{18}$

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二、多选题

9. 给定函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ ．下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， - 2)$ 上单调递减，在区间 $(- 2 ， 0)$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 的图象与x轴有两个交点 C、当 $- \frac{1}{e^{2}} < a < 0$ 时，方程 $f (x) = a$ 有两个不同的的解 D、若方程 $f (x) = a$ 只有一个解，则 $a \geq 0$

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10. 下列说法正确的为（）

A、6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有 $C_{6}^{2} C_{4}^{2} C_{2}^{2}$ 种不同的分法； B、6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有 $C_{6}^{1} C_{5}^{2} C_{3}^{3}$ 种不同的分法； C、6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法； D、6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法．

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11. 设 ${(2 x + 1)}^{6} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \dots + a_{6} {(x + 1)}^{6}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $a_{0} - a_{1} + a_{2} \dots - a_{5} + a_{6} = 3^{6}$ B、 $a_{2} + a_{3} = 100$ C、 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， \dots ， a_{6}$ 中最大的是 $a_{2}$ D、当 $x = 999$ 时， ${(2 x + 1)}^{6}$ 除以2000的余数是1

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12. 已知函数 $f (x) = x - (x - 1) \ln x$ ，下述结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 存在唯一极值点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} \in (1 ， 2)$ B、存在实数 $a$ ，使得 $f (a) > 2$ C、方程 $f (x) = - 1$ 有且仅有两个实数根，且两根互为倒数 D、当 $k < 1$ 时，函数 $f (x)$ 与 $g (x) = k x$ 的图象有两个交点

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三、填空题

13. 二项式 ${(\sqrt{2} x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项为.

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14. 若函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + x + 1$ 在 $(2 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数a的取值范围是.

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15. 如图，用五种不同的颜色涂在图中不同的区域内，要求每个区域只能涂一种颜色，且相邻（有公共边）区域涂的颜色不同，则不同的涂色方案一共有种．（用数字作答）．

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16. 已知函数 $f (x) = a (x - \frac{1}{x}) - 2 ln x$ ，若 $f (x)$ 在 $[1 ， e]$ 上单调减函数，则实数 $a$ 的最大值为，若 $a > 0$ ，在 $[1 ， e]$ 上至少存在一点 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) - \frac{2 e}{x_{0}} \geq 0$ 成立，则实数 $a$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x^{2} + a ， x \in R$ 的图象在点 $x = 0$ 处的切线为 $y = b x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x) + x^{2} - x$ ，求证： $g (x) \geq 0$ ；

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18. 已知从 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式的所有项中任取两项的组合数是21 .

(1)、求展开式中所有二项式系数之和(用数字作答)；

(2)、若 $（ a + \frac{1}{x^{2}} ） {(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 展开式中的常数项为 $\frac{7}{2}$ ，求 $a$ 的值.

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19. 按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（列式并用数字作答）

(1)、5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球；

(2)、6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；

(3)、6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；

(4)、6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．

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20. 已知函数 $f (x) = x - \frac{a}{x} - (a + 1) \ln x (a \in R)$ ．

(1)、当 $0 < a \leq 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、是否存在实数 $a$ ，使 $f (x) \leq x$ 恒成立，若存在，求出实数 $a$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

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21. 在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示．
第0行                  1

第1行                 1 1

第2行                1 2 1

第3行               1 3 3 1

第4行              1 4 6 4 1

第5行            1 5 10 10 5 1

第6行          1 6 15 20 15 6 1

(1)、在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中有三个相邻的数之比是3：4：5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；

(2)、已知n，r为正整数，且 $n > r + 3$ ，求证：任何四个相邻的组合数 $C_{n}^{r} ， C_{n}^{r + 1} ， C_{n}^{r + 2} ， C_{n}^{r + 3}$ 不能构成等差数列．

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22. 已知函数 $f (x) = x (\ln x - 1) ，$ $g (x) = a x + b$ $(a ， b \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ 时，直线 $y = g (x)$ 是曲线 $f (x)$ 的一条切线，求b的值；

(2)、若 $\frac{b}{a} = - e$ ，且 $f (x) \geq g (x)$ 在 $x \in [e ， + \infty)$ 上恒成立，求a的取值范围；

(3)、令 $φ (x) = f (x) - g (x)$ ，且 $φ (x)$ 在区间 $[e ， e^{2}]$ 上有零点，求 $a^{2} + 4 b$ 的最小值.

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