湖北省新高考联考协作体2020-2021学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-05-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x > 1$ ， $x^{2} \geq 1$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \leq 1$ ， $x^{2} \geq 1$ B、 $\exists x_{0} \leq 1$ ， $x_{0}^{2} < 1$ C、 $\forall x \leq 1$ ， $x^{2} < 1$ D、 $\exists x_{0} > 1$ ， $x_{0}^{2} < 1$

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2. $\frac{{(1 - i)}^{3}}{{(1 + i)}^{2}} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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3. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 为适应新高考改革，学校在高二年级开设若干课外实践课，甲､乙､丙三名高中生从4个课程中各选择一个参加学习，不同的方法为（）

A、24 B、64 C、81 D、4

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5. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则所拨数字小于600的概率为（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{5}{24}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{7}{24}$

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6. 若离散型随机变量 $X ~ B (4, \frac{2}{3})$ ，则 $E (X)$ 和 $D (X)$ 分别为（）

A、 $\frac{8}{3}$ ， $\frac{16}{9}$ B、 $\frac{8}{3}$ ， $\frac{8}{9}$ C、 $\frac{8}{9}$ ， $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{16}{9}$ ， $\frac{8}{3}$

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7. 老师要从6篇课文中随机抽取3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的4篇，该同学能及格的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{a}{2} x^{2} + x + 1$ 在 $(- \infty, 0)$ ， $(3, + \infty)$ 上为增函数，在 $(1, 2)$ 上为减函数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{10}{3}, - \frac{5}{2}]$ B、 $(- \infty, - 2]$ C、 $(- \frac{10}{3}, - 2]$ D、 $(- \frac{10}{3}, - \frac{5}{2})$

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二、多选题

9. 已知空间中三点 $A (0, 1, 0)$ ， $B (2, 2, 0)$ ， $C (- 1, 3, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 是共线向量 B、与 $\vec{A B}$ 同向的单位向量是 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}, 0)$ C、 $\vec{A B}$ 和 $\vec{B C}$ 夹角的余弦值是 $\frac{\sqrt{55}}{11}$ D、平面 $A B C$ 的一个法向量是 $(1, - 2, 5)$

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10. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右端点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，点 $P$ ， $Q$ 是椭圆 $C$ 上关于原点对称的两点(异于左右端点)，且 $k_{P A_{1}} \cdot k_{P A_{2}} = - \frac{1}{2}$ ，则下列说法正确的有（）

A、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、椭圆 $C$ 的离心率不确定 C、 $k_{P A_{1}} \cdot k_{Q A_{1}}$ 的值受点 $P$ ， $Q$ 的位置影响 D、 $\cos ∠ A_{1} P A_{2}$ 的最小值为 $- \frac{1}{3}$

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11. “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则（）

A、在第 $n (n \geq 5)$ 条斜线上，各数自左往右先增大后减小 B、在第9条斜线上，各数之和为55 C、在第11条斜线上，最大的数是 $C_{7}^{3}$ D、在第 $n$ 条斜线上，共有 $\frac{2 n + 1 + {(- 1)}^{n}}{4}$ 个数

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12. 已知 $\ln x_{1} - x_{1} - y_{1} + 2 = 0$ ， $x_{2} + 2 y_{2} - 4 - 2 \ln 2 = 0$ ，记 $M = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ ，则（）

A、 $M$ 的最小值为 $\frac{4}{5}$ B、当 $M$ 最小时， $x_{2} = 4$ C、 $M$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、当 $M$ 最小时， $x_{1} = 2$

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三、填空题

13. 曲线 $y = e^{- x^{2} + 2 x} + 2$ 在点 $(0 ， 3)$ 处的切线方程为.

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14. $(x - 2 y) {(x - y)}^{8}$ 的展开式中 $x^{2} y^{7}$ 的系数为.(用数字填写答案)

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15. 甲､乙､丙､丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲､乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”.从上述回答分析，5人的名次排列可能有种不同情况(用数字填写答案).

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16. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - a (x + 2)$ .当 $a = 2$ 时， $f (x)$ 的增区间为；若 $f (x)$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知 ${(x^{2} - x + 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{10} x^{10}$ .

(1)、求 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10}$ ；

(2)、求 ${(a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10})}^{2} - {(a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9})}^{2}$ .

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18. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.规则如下：从大小形状完全相同的4个红球6个白球的甲箱中摸取2个球，若摸中2个白球，获纪念奖10元；若摸中1个白球和1个红球，则获二等奖20元；若摸中2个红球，则获一等奖50元.

(1)、某顾客参与一次抽奖获得奖金金额为 $X$ 元，求 $X$ 的分布列和期望；

(2)、若某顾客有3次抽奖机会，求该顾客获得总奖金不少于50元的概率.

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19. 已知四边形 $A B C D$ 是直角梯形， $A B / / C D$ ， $∠ C = 45 °$ ， $C D = 2 A B = 4$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $C D$ ， $B C$ 的中点(如图1)，以 $A E$ 为折痕把 $△ A D E$ 折起，使点 $D$ 到达点 $S$ 的位置且平面 $S A E ⊥$ 平面 $A B C E$ (如图2).

(1)、求证： $A S ⊥$ 平面 $S E F$ ；

(2)、求二面角 $C - S E - F$ 的余弦值.

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20. 已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分.每道多选题共有4个选项，正确答案往往为2项或3项.为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为 $\frac{1}{2}$ ，正确答案是“选三项”的概率为 $\frac{1}{2}$ .现有学生甲､乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜.

(1)、已知某题正确答案是“选两项”，求学生甲不得0分的概率；

(2)、学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试比较两个同学的策略，谁的策略能得更高的分数？并说明理由.

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21. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，圆 $O : x^{2} + y^{2} = c^{2}$ （ $| F_{1} F_{2} | = 2 c$ ）与椭圆有且仅有两个交点，点 $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ 在椭圆上.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、过 $y$ 正半轴上一点 $P$ 的直线 $l$ 与圆 $O$ 相切，与椭圆 $C$ 交于点 $A, B$ ，若 $\vec{P A} = \vec{A B}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 a x - b + 1 (a, b \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的极值情况；

(2)、若 $a \geq 0$ 时， $f (x) \geq 0$ ，求证： $b - 4 a^{2} < \frac{7}{4}$ .

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