河南省南阳市宛城区2021年九年级下学期数学中考一模试卷

试卷更新日期：2021-05-11 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数中是负数的是（）

A、 $| - 3 |$ B、 ${(- 3)}^{0}$ C、 ${(- 3)}^{- 1}$ D、 $- (- 3)$

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2. 下列四个几何体中，左视图形状与其它三个不同的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 20亿次的视频播放量，4.9亿次微博主话题阅读量，上千万条弹幕，5次上热搜——5分钟的古典舞《唐宫夜宴》亮相河南春晚后，打开了一条时光隧道，带观众穿越千年，回到那个开放、包容、自信的大唐.《唐宫夜宴》是“从传统画卷中奏出的文化强音”，“不迎合、不媚俗，当潮不让你最中！”将数据“4.9亿”用科学记数法表示为（）

A、 $49 \times 10^{7}$ B、 $4.9 \times 10^{8}$ C、 $4.9 \times 10^{9}$ D、 $0.49 \times 10^{9}$

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4. 在三角板拼角活动中，小明将一副三角板按如图方式叠放，则拼出的 $∠ α$ 度数为（）

A、 $65 °$ B、 $75 °$ C、 $105 °$ D、 $115 °$

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5. 将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成 $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |$ ，并规定 $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c$ ，例如： $| \begin{matrix} 8 & 9 \\ 3 & 5 \end{matrix} | = 8 \times 5 - 9 \times 3 = 13$ ，则方程 $| \begin{matrix} 3 x & 3 \\ 2 x & x \end{matrix} | = - 1$ 的根的情况为（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、只有一个实数根

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6. 数学课上，李老师出示了明代数学家程大位的《算法统宗》中的一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）.给出四种设未知数及列方程（组）的思路：①设有x人分银子，据题意得 $7 x + 4 = 9 x - 8$ ；②设所分银子有y两，据题意得 $\frac{y - 4}{7} = \frac{y + 8}{9}$ ；③设所分银子有t两，据题意得 $\frac{t}{7} - 4 = \frac{t}{9} + 8$ ；④设有m人分银子，所分银子有n两，根据题意得 ${\begin{array}{l} 7 m - 4 = n \\ 9 m + 8 = n \end{array}$ ，其中正确的是（）

隔墙听得客分银，

不知人数不知银.

七两分之多四两，

九两分之少半斤.

（算法统宗）

A、①和② B、①和③ C、②和④ D、③和④

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7. 在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评价为（）

甲同学：

$\frac{2}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1}$

$= \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

$= \frac{2 - x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

$= \frac{3 - x}{x^{2} - 1}$

乙同学：

$\frac{2}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1}$

$= \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1}$

$= \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

$= 2 - x + 1$

$= 3 - x$

A、甲对乙错 B、乙对甲错 C、两人都对 D、两人都错

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8. 某地区经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入是振兴前的2倍.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例，绘制了下面的扇形统计图，则下列说法错误的是（）

A、乡村振兴建设后，养殖收入是振兴前的2倍 B、乡村振兴建设后，种植收入减少 C、乡村振兴建设后，其他收入是振兴前的2倍以上 D、乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

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9. 如图，D是等边三角形 $A B C$ 的边 $A C$ 上一点，四边形 $C D E F$ 是平行四边形，点F在 $B C$ 的延长线上，G为 $B E$ 的中点，连接 $D G$ ，若 $A B = 10 ， A D = D E = 4$ ，则 $D G$ 的长为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 如图，直线 $y = x + 1$ 与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点B作 $B C ⊥ A B$ ，使 $B C = 2 B A$ ，将 $△ A B C$ 绕点O顺时针旋转，每次旋转 $90 °$ ，则第2021次旋转结束时，点C的对应点 $C^{'}$ 落在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，则k的值为（）

A、-4 B、4 C、-6 D、6

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二、填空题

11. 27的立方根为．

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12. 一个一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是.

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13. 将4张印有“梅”“兰”“竹”“菊”字样的卡片（形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子中搅匀.从中任意取出1张，记录后放回搅匀，再从中任意取出1张，则取出的两张卡片中，至少有1张印有“兰”字的概率是.

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以A为圆心、适当长为半径画弧，分别交 $A C$ 、 $A B$ 于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 长为半径画弧，两弧交于点D，作射线 $A D$ ，交 $B C$ 于点E.已知 $B C = 8 ， C E = 3$ ，若P为 $A B$ 上一点，当 $P E = 4$ 时，线段 $A P$ 的长为.

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15. 如图所示，在扇形 $O A B$ 中， $∠ A O B = 90 ° ， O A = 2$ ，长为2的线段 $C D$ 的两个端点分别在线段 $O A$ 、 $O B$ 上滑动，E为 $C D$ 的中点，点F在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，连结 $E F$ 、 $B E$ .若 $\overset{⌢}{A F}$ 的长是 $\frac{π}{3}$ ，则线段 $E F$ 的最小值是，此时图中阴影部分的面积是.

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三、解答题

16. 先化简，再求值： $(3 x + 2 y) (3 x - 2 y) - 8 x (x + y) - {(x + y)}^{2}$ ，其中x、y分别是无理数 $\sqrt{11}$ 的整数部分和小数部分.

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17. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线，切点为C，过B作 $B E ⊥ C D$ ，垂足为点E，直线 $B E$ 交 $⊙ O$ 于点F.

(1)、判断 $∠ A B C$ 与 $∠ E B C$ 的数量关系，并说明理由.

(2)、若点C在直径 $A B$ 上方半圆弧上运动， $⊙ O$ 的半径为4，则
①当 $C B$ 的长为时，以B、O、E、C为顶点的四边形是正方形；

②当 $B E$ 的长为时，以B、O、F、C为顶点的四边形是菱形.

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18. 民族要复兴，乡村必振兴2月21日发布的2021年中央一号文件，主题是全面推进乡村振兴加快农业农村现代化.乡村振兴战略的实施效果要用农民生活富裕水平来评价，某合作社为尽快打开市场，对本地新产品进行线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如下：
线下销售模式：标价5元/千克，八折出售；

线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克时，超出部分每千克再让利1.5元.

购买这种新产品x千克，所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示.

根据以上信息回答下列问题：

(1)、请求出两种销售模式对应的函数解析式；

(2)、说明图中点C坐标的实际意义；

(3)、若想购买这种产品10千克，请问选择哪种模式购买最省钱？

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19. 某学校八、九年级各有学生200人，为了提高学生的身体素质，学校开展了主题为“快乐运动，健康成长”的系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，从八、九年级各随机抽取40名学生进行了体能测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息.（说明：成绩80分及以上为优秀，70-79分为良好，60-69分为合格，60分以下为不合格）
a.八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为五组： $50 \leq x < 60 ， 60 \leq x < 70 ， 70 \leq x < 80 ， 80 \leq x < 90 ， 90 \leq x \leq 100$ ）

b.八年级学生成绩在 $70 \leq x < 80$ 这一组的是：

70 71 73 73 73 74 76 77 78 79

c.九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下：

平均数

中位数

众数

优秀率

79

76

84

40%

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、在此次测试中，小腾的成绩是74分，在年级排名是第17名，由此可知他是年级的学生（填“八”，或“九”）；

(2)、根据上述信息，推断年级学生运动状况更好，理由为；（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

(3)、假设八、九年级全体学生都参加了此次测试，
①预估九年级学生达到优秀的约有 ▲ 人；

②如果年级排名在前70名的学生可以被评选为“运动达人”，预估八年级学生至少要达到分才可以入选.

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20. 九年级数学兴趣小组的实践课题是“测量物体高度”.小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底座为正方体的旗杆的高度，以下是他们研究报告的部分记录内容：

课题：测量旗杆的高度
	小明的研究报告	小红的研究报告
测量示意图
测量方案与测量数据	在点D处用距离地面高度为 $1 .6m$ 的测角仪测出旗杆顶端A的仰角 $α = 55 °$ ，再用皮尺测得测角仪底部所在位置与旗杆底座正方体边缘的最短距离为 $10m$ .	在点D处用距离地面高度为 $1 .6m$ 的测角仪测出旗杆顶端A的仰角 $α = 29 °$ ，然后沿 $D F$ 方向走 $20m$ 到达点F处，测出旗杆顶端A的仰角 $β = 60 °$ .
参考数据	$\sin 55 ° \approx 0.82$ ， $\cos 55 ° \approx 0.57$ ， $\tan 55 ° \approx 1.43$ ，	$\sin 29 ° \approx 0.48$ ， $\cos 29 ° \approx 0.87$ ， $\tan 29 ° \approx 0.55$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$
计算旗杆高度	$10 \times \tan 55 ° + 1.6 \approx 15.9 (m)$

(1)、写出小红研究报告中“计算旗杆高度”的解答过程（结果精确到

0 .1m

）；

(2)、数学老师说小明的测量结果与旗杆实际高度偏差较大，超出了误差允许范围，请你针对小明的测量方案分析测量偏差较大的原因.

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21. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - 2 + 3 a^{2}$ .

(1)、求该抛物线的对称轴；

(2)、若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；

(3)、当 $a > 0$ 时，若 $A (m - 1 ， y_{1}) ， B (1 ， y_{2}) ， C (m + 2 ， y_{3})$ 为该抛物线上三点，且总有 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ ，请结合图象直接写出m的取值范围.

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22. 如图，半圆O中，

A B = 8 cm

，点M为

A B

上一点，

A M = 6 cm

，点P为半圆上一个动点，连接

P M

、

A P

，过点A作

A N ⊥ P M

，垂足为N.

小明根据学习函数的经验，对线段 $A P$ 、 $A N$ 、 $N M$ 的长度之间的关系进行了探究.

下面是小明的探究过程，请补充完整：

(1)、设

A P

的长度为

x

cm ，

A N

的长度为

y_{1} cm

，

N M

的长度为

y_{2} cm

，对于点P在半圆O上的不同位置，画图、测量，得到了线段

A P

、

A N

、

N M

的长度的几组值，如表：

$x /cm$	0	1	2	3	4	5	6	7	7.5	7.64	7.78	7.90	8
$y_{1} /cm$	0	0.99	1.99	2.97	3.92	4.82	5.61	5.99	5.56	5.18	4.46	3.30	0
$y_{2} /cm$	6	5.91	5.65	5.21	4.53	3.56	2.12	0.24	2.25	3.01	4.00	5.01	6

请计算，当 $P M ⊥ A B$ 时， $A P =$ $cm$ ；

(2)、利用表格中的数据，在如下平面直角坐标系

x O y

中，画出（1）中所确定的函数

y_{2}

关于x的函数图象；

(3)、结合函数图象，解决问题：当

△ A N M

是等腰三角形时，直接写出

A P

长度的近似值.（保留一位小数）

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = α$ ，过A作 $A D ⊥ B C$ 于点D，点E为直线 $A D$ 上一动点，把线段 $C E$ 绕点E顺时针旋转 $α$ ，得到线段 $E F$ ，连接 $F C$ 、 $F B$ ，直线 $A D$ 与 $B F$ 相交于点G.

(1)、（发现）如图1，当 $α = 60 °$ 时，填空：
① $\frac{A E}{B F}$ 的值为；

② $∠ A G B$ 的度数为；

(2)、（探究）如图2，当 $α = 120 °$ 时，请写出 $\frac{A E}{B F}$ 的值及 $∠ A G B$ 的度数，并就图2的情形给出证明；

(3)、（应用）如图3，当 $α = 90 °$ 时，若 $A B = 2 \sqrt{3} ， ∠ A C E = 15 °$ ，请直接写出 $△ D F G$ 的面积.

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平均数	中位数	众数	优秀率
79	76	84	40%