河南省开封市2021年九年级下学期数学中考一模试卷

试卷更新日期：2021-05-11 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数中，最小的数是（）

A、2 B、0 C、-1 D、 $| - 3 |$

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2. 2021年清明文化节期间，古城开封累计接待游客121.76万人次，与2019年同期相比增长 $45 .13 %$ ；实现综合收入5.27亿元，同比增长 $14.1 %$ ，数据121.76万用科学记数法表示为（）

A、 $121.76 \times 10^{4}$ B、 $1 .2176 \times 10^{6}$ C、 $1.2176 \times 10^{7}$ D、 $0.12176 \times 10^{8}$

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3. “疫情就是命令，防控就是责任”，面对疫情，各地积极普及科学防控知识.下面是科学防控知识图片，其中图案是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该方块的个数，则这个几何体的左视图为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $x^{8} \div x^{2} = x^{4}$ B、 $\sqrt{4} + \sqrt{9} = \sqrt{4 + 9}$ C、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = - 8 a^{6}$ D、 ${(- 1)}^{0} - {(\frac{1}{2})}^{- 1} = - 3$

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6. 如图，直线 $A B ， C D$ 相交于点 $O ， O E ⊥ A B$ 于点 $O ， O F$ 平分 $∠ A O E ， ∠ 1 = 25 ° 30'$ ，则下列结论中不正确的是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 3$ B、 $∠ 2 = 45 °$ C、 $∠ A O D$ 与 $∠ 1$ 互为补角 D、 $∠ 3$ 的余角等于 $65 ° 30^{'}$

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7. 定义运算： $a ☆ b = {(a + b)}^{2} - a b + 1$ .例如： $3 ☆ 2 = {(3 + 2)}^{2} - 3 \times 2 + 1 = 20$ .则方程 $x ☆ 1 = 0$ 的根的情况为（）

A、无实数根 B、只有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，分别以点A和点C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $M ， N$ 两点，作直线 $M N$ ，交 $A C$ 于点 $E ， A E = 3 ， △ A B D$ 的周长为13，则 $△ A B C$ 的周长是（）

A、16 B、17 C、18 D、19

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9. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将四边形 $A B C D$ 先向上平移，再向左平移得到四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，已知 $A_{1} (- 3 ， 5) ， B_{1} (- 4 ， 3) ， A (3 ， 3)$ ，则点B坐标为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 1)$ C、 $(1 ， 4)$ D、 $(4 ， 1)$

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10. 小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度 $y (m)$ 与旋转时 $x (s)$ 之间的关系可以近似地用 $y = - \frac{1}{40} x^{2} + b x + c$ 来刻画.如图记录了该摩天轮旋转时 $x (s)$ 和离地面高度 $y (m)$ 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为（）

A、 $172 s$ B、 $175 s$ C、 $180 s$ D、 $186 s$

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二、填空题

11. 一元二次方程x²=x的解为．

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12. 经过某十字路口的汽车，可直行，也可向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口时都直行的概率是．

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13. 如图数轴上两点 $A ， B$ 表示的数分别是 $1 ， 3$ ，点C在数轴上，若 $B C = 2 A B$ ，则点C表示的数为.

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14. 如图，在平面直角坐标中，一次函数y＝﹣4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点.正方形ABCD的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （k≠0）的图象上.若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是.

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15. 如图，扇形 $A O B$ 中， $O A = 3 ， ∠ A O B = 60 °$ ，点C是 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一个定点（不与 $A ， B$ 重合），点 $D ， E$ 分别是 $O A ， O B$ 上的动点，则 $△ C D E$ 周长的最小值为.

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三、解答题

16. 下面是某同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
分式化简： $\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x - 1} \div \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

解：原式＝ $= \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{x (x + 2)}$ 第一步

$= \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x (x + 2)}$ 第二步

$= \frac{x}{x (x + 2)} - \frac{x - 1}{x (x + 2)}$ 第三步

$= \frac{x - x - 1}{x (x + 2)}$ 第四步

$= - \frac{1}{x^{2} + 2 x}$ 第五步

任务一：填空：第_▲_步开始出现错误，这一步错误的原因是_▲_.

任务二：请写出本题化简后的正确结果，并从不等式组 ${\begin{array}{l} x + 3 ⩾ 1 \\ - \frac{1}{2} x + 1 > 0 \end{array}$ 的解集中选取一个合适的整数作为x的值，代入求值.

任务三：请你根据平时的学习经验，就分式的化简时应注意的事项给其他同学提两条建议.

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17. 红树林学校在七年级新生中举行了全员参加的“防溺水”安全知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分.现分别从三个班中各随机取10名同学的成绩（单位：分），收集数据如下：

1班：90，70，80，80，80，80，80，90，80，100；

2班：70，80，80，80，60，90，90，90，100，90；

3班：90，60，70，80，80，80，80，90，100，100.

整理数据：

分数人数班级	60	70	80	90	100
1班	0	1	6	2	1
2班	1	1	3	$a$	1
3班	1	1	4	2	2

分析数据：

	平均数	中位数	众数
1班	83	80	80
2班	83	$c$	$d$
3班	$b$	80	80

根据以上信息回答下列问题：

(1)、请直接写出表格中

a, b, c, d

的值；

(2)、比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由；

(3)、为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级新生共570人，试估计需要准备多少张奖状？

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18. 被誉为“天下第一塔”的开封铁塔，八角十三层，其设计精巧，单是塔砖就有数十种图案，它历经战火、水患、地震等灾害，依然屹立.某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量铁塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量.

课题	测量铁塔的高度
测量工具	测量角度的仪器，皮尺等
测量方案	在点C处放置高为1.3米高的测角仪，此时测得塔顶端A的仰角为 $58 °$ ，再沿 $B C$ 方向走20.5米到达点E处，此时测得塔顶端A的仰角为 $45 °$ .	说明：点 $E 、 C 、 B$ 三点在同一水平线上.

(1)、请你根据表中信息帮助该数学兴趣小组求铁塔的高度.

（精确到0.1米，参考数据： $\sin 58 ° \approx 0.85 ， \cos 58 ° \approx 0 .53 ， \tan 58 ° \approx 1.60$ ）

(2)、景点介绍开封铁塔的高度为55.88米，则计算结果的误差为多少？请你说出一条导致计算结果产生误差的原因可能是什么？

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19. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C为 $⊙ O$ 上一点，点P是半径 $O B$ 上一动点（不与 $O ， B$ 重合），过点P作射线 $l ⊥ A B$ ，分别交弦 $B C ， \overset{⌢}{B C}$ 于 $D ， E$ 两点，在射线 $l$ 上取点F，使 $F C = F D$ .

(1)、求证： $F C$ 是 $⊙ O$ 的切线.

(2)、当点E是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点时，若 $∠ B A C = 60 °$ ，判断以 $O ， B ， E ， C$ 为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由.

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20. 疫情防控期间，某校校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间办公室和1间教室的喷酒共需 $8 min$ ；完成2间办公室和3教室的喷洒共需 $21 min$ .

(1)、该校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各需多少时间？

(2)、消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位： $mg / m^{3}$ ）与时间x（单位： $\min$ ）的函数关系如图所示，校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为 $y = 2 x$ ，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为点 $A (m ， n)$ .当教室空气中的药物浓度不高于 $1 mg / m^{3}$ 时，对人体健康无危害，校医依次对（1）班至（11）班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当把最后一间教室药物喷洒完成后，（1）班学生能否进入教室？请通过计算说明.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $y = m x^{2} - 2 m x + 1 (m < 0)$ 与x轴的交点为 $A ， B$ ，与y轴交于点C.

(1)、求抛物线的对称轴和点C坐标.

(2)、横、纵坐标都是整数的点叫做整点.抛物线在点 $A ， B$ 之间的部分与线段 $A B$ 所围成的区域为图形W（不含边界）.
①当 $m = - 1$ 时，求图形W内的整点个数；

②若图形W内有2个整点，求m的取值范围.

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22. 如图，在等腰

△ A B C

中，

A C = B C = 6 cm

，

A B = 8 cm

P

是线段

A B

上一动点，取

B C

的中点

D

，连接

P C

，

P D

小刚根据学习函数的经验，对线段 $A P$ ， $P D$ ， $P C$ 的长度之间的关系进行探究.下面是小刚的探究过程，请补充完整：

观察计算：根据点 $P$ 在线段 $A B$ 上的不同位置，通过取点，画图和测量，得到了 $A P$ ， $P D$ ， $P C$ 的长度（单位： $cm$ ）的几组值，如表：

	位置1	位置2	位置3	位置4	位置5	位置6	位置7	位置8	位置9
$A P$	0	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0
$P D$	6.4	5.5	4.6	3.8	$a$	22.5.5	2.2	2.5	3.0
$P C$	6.0	5.4	4.9	4.6	4.5	4.6	4.9	5.4	6.0

(1)、操作发现：

①在 $A P$ ， $P D$ ， $P C$ 的长度这三个量中，确定的长度为自变量，的长度和的长度分别都为这个自变量的函数.

②当 $P$ 为 $A B$ 的中点时， $P D$ 的长是一个固定的值.请求出上表中 $a$ 的值为.

(2)、描点画图：在同一平面直角坐标系

x o y

中，根据（1）表格中的数据，画出所确定的函数图象.

(3)、解决问题：直接写出：当

△ P C D

为等腰三角形时，线段

P D

的长度的近似值.（结果保留一位小数）

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23. 如图：两个菱形 $A B C D$ 与菱形 $B E F G$ 的边 $A B ， B E$ 在同一条直线上，边长分别为a和b，点C在 $B G$ 上，点M为 $C G$ 的中点.

(1)、观察猜想：如图①，线段 $B M$ 与线段 $A E$ 的数量关系是.

(2)、拓展探究：如图②， $∠ A B C = 120 °$ ，将图①中的菱形 $B E F G$ 绕点B顺时针旋转至图②位置，其他条件不变，连接 $B M$ ，
①猜想线段 $B M$ 与线段 $A E$ 的数量关系，并说明理由.

②求出线段 $B M$ 与 $A E$ 所成的最小夹角.

(3)、解决问题：如图③，若将题目中的菱形改为矩形，且 $\frac{B C}{A B} = \frac{E F}{B E} = \sqrt{3}$ ，请直接写出线段 $B M$ 与线段 $A E$ 的数量关系.

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