人教A版2019必修二8.6 立体几何之直线与平面，平面与平面垂直

试卷更新日期：2021-05-10 类型：同步测试

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一、单选题

1. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别是 $B C_{1}$ ， $C D_{1}$ 的中点，则下列说法错误的是（）

A、 $M N$ 与 $C C_{1}$ 垂直 B、 $M N$ 与 $A C$ 垂直 C、 $M N$ 与 $B D$ 平行 D、 $M N$ 与 $A_{1} B_{1}$ 平行

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2. 已知 $α ， β$ 是两个不重合的平面，直线 $l ⊥ α$ ，则“ $l // β$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知两条不同的直线 $l ， m$ 和不重合的两个平面 $α ， β$ ，且 $l ⊥ β$ ，有下面四个命题：①若 $m ⊥ β$ ，则 $l / / m$ ；②若 $α / / β$ ，则 $l ⊥ a$ ；③若 $α ⊥ β$ ，则 $l / / α$ ；④若 $l ⊥ m$ ，则 $m / / β$ ．其中真命题的序号是（）

A、①② B、②③ C、②③④ D、①④

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4. 已知 $m$ ， $n$ 表示两条不同直线， $α$ ， $β$ 表示两个不同平面．设有四个命题： $p_{1}$ ：若 $m // α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$ ； $p_{2}$ ：若 $m // α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$ ； $p_{3}$ ：若 $m // α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m // β$ ； $p_{4}$ ：若 $m // α$ ， $m // β$ ，则 $α // β$ ．则下列复合命题中为真命题的是（）

A、 $p_{1} \land p_{2}$ B、 $\neg p_{1} \land p_{4}$ C、 $p_{2} \lor p_{3}$ D、 $p_{3} \lor p_{4}$

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5. 如图，AB是⊙O直径，C是圆周上不同于A、B的任意一点，PA与平面ABC垂直，则四面体P_ABC的四个面中，直角三角形的个数有（）

A、4个 B、3个 C、1个 D、2个

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6. 设m，n是两条不同的直线， $α ， β$ 是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（）
① $\begin{array}{l} m ⊥ n \\ n \subset α \end{array}} \Rightarrow m ⊥ α$ ② $\begin{array}{l} m ⊥ α \\ m \subset β \end{array}} \Rightarrow α ⊥ β$ ③ $\begin{array}{l} m ⊥ α \\ n ⊥ α \end{array}} \Rightarrow m // n$ ④ $\begin{array}{l} m \subset α \\ n \subset β \\ α // β \end{array}} \Rightarrow m // n$

A、①② B、①④ C、②③ D、②④

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7. 如图，三棱锥 $A - B C D$ 的底面 $B C D$ 在平面 $α$ 内，所有棱均相等， $E$ 是棱 $A C$ 的中点，若三棱锥 $A - B C D$ 绕棱 $C D$ 旋转，设直线 $B E$ 与平面 $α$ 所成的角为 $θ$ ，则 $\cos θ$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{\sqrt{3}}{6} ， 1]$ B、 $[\frac{5}{6} ， 1]$ C、 $[0 ， \frac{\sqrt{11}}{6}]$ D、 $[0 ， \frac{\sqrt{33}}{6}]$

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8. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中有记载将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图四面体 $A B C D$ 为鳖臑，其中 $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $∠ B C D = 90 °$ ， $A B = \sqrt{3} B C$ ，球 $O$ 为该四面体的内切球，当过 $C D$ 边的平面也过球心 $O$ 时，记该平面与平面 $B C D$ 所成角为 $θ$ ，则 $θ$ 角满足（）

A、 $\cos θ = \frac{3 \sqrt{2}}{5}$ B、 $\sin θ = \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $θ = \frac{π}{6}$ D、 $θ = \frac{π}{4}$

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二、多选题

9. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $P$ 是 $△ B_{1} C D_{1}$ 内部(不包括边界)的动点，若 $B D ⊥ A P$ ，则线段 $A P$ 长度的可能取值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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10. 已知在正三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = 3$ ， $A B = 2$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点，下面结论正确的有（）

A、 $P C ⊥ A B$ B、平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$ C、 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成的角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ D、三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的半径为 $\sqrt{5}$

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11. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ，点 $E$ 为 $P A$ 的中点，则下列判断正确的是（）

A、 $P B$ 与 $C D$ 所成的角为 $60^{°}$ B、 $B D ⊥$ 平面 $P A C$ C、 $P C$ ∥平面 $B D E$ D、 $V_{B - C D E} ： V_{P - A B C D} = 1 ： 4$

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12. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，所有棱长均为1，点 $E$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 上任意一点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $A A_{1}$ 与直线 $B E$ 所成角的范围是 $[0 ， \frac{π}{4}]$ B、在棱 $B_{1} C_{1}$ 上存在一点 $E$ ，使 $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B E$ C、若 $E$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则平面 $A B E$ 截三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 所得截面面积为 $\frac{3 \sqrt{19}}{16}$ D、若 $F$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的动点，则三棱锥 $F - A B E$ 体积的最大值为 $\frac{1}{6}$

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三、填空题

13. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD， $P A = P B = \frac{\sqrt{2}}{2} A B$ ，若 $△ P B C$ 和 $△ P C D$ 的面积分别为1和 $\sqrt{3}$ ，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为.

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14. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱长为 $2$ ， $A C = B C = 1$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $F$ 是 $B B_{1}$ 上的动点， $A B_{1}$ ， $D F$ 交于点 $E$ ，要使 $A B_{1} ⊥$ 平面 $C_{1} D F$ ，则线段 $B_{1} F$ 的长为.

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15. 如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = C C_{1}$ ， $E$ ，F分别是 $B C$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，则异面直线 $A F$ 与 $C_{1} E$ 所成角的余弦值是．

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16. 如图，已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $B_{1} C$ 上运动，给出下列结论：

①异面直线 $A P$ 与 $D D_{1}$ 所成的角范围为 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ ；

②平面 $P B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ ；

③点 $P$ 到平面 $A_{1} C_{1} D$ 的距离为定值 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ；

④存在一点 $P$ ，使得直线 $A P$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ .

其中正确的结论是.

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四、解答题

17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 的展开图中，点 $P$ 分别对应点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ ，已知 $A$ ， $D$ 均在线段 $P_{1} P_{3}$ 上，且 $P_{1} P_{3} ⊥ P_{2} C$ ， $P_{1} P_{3} \cap P_{2} C = D$ ，四边形 $A B C P_{2}$ 为等腰梯形， $A B // C P_{2}$ ， $A B = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{3} C P_{2}$ .

(1)、若 $M$ 为线段 $B C$ 的中点，证明： $B C ⊥$ 平面 $P D M$ .

(2)、求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值.

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18. 如图所示的几何体由等高的 $\frac{1}{2}$ 个圆柱和 $\frac{1}{4}$ 个圆柱拼接而成，点 $G$ 为弧 $C D$ 的中点，且 $C$ 、 $E$ 、 $D$ 、 $G$ 四点共面．

(1)、证明： $B F ⊥$ 平面 $B C G$ ．

(2)、若直线 $D F$ 与平面 $A F B$ 所成角为 $45 °$ ，求平面 $B D F$ 与平面 $A B G$ 所成锐二面角的余弦值．

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19. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 中，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C ， C$ 点在以 $A B$ 为直径的圆上.

(1)、若 $P A = A C$ ，且 $E$ 为 $P C$ 的中点，证明： $A E ⊥ P B$ ；

(2)、若 $P A = A C = B C ，$ 求二面角 $C - B P - A$ 的大小.

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20. 现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥 $A - B C D$ ，如图所示，其中 $∠ A B D = 60 °$ ，点E，F，G分别是 $A C ， B C ， A B$ 的中点．

(1)、求证： $E F ⊥$ 平面 $C D G$ ；

(2)、求二面角 $F - A E - D$ 的余弦值．

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21. 如图，在四边形 $P D C B$ 中， $P D / / B C$ ， $B A ⊥ P D$ ， $P A = A B = B C = 1$ ， $A D = \frac{1}{2}$ .沿 $B A$ 将 $△ P A B$ 翻折到 $△ S B A$ 的位置，使得 $S D = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

(1)、作出平面 $S C D$ 与平面 $S B A$ 的交线 $l$ ，并证明 $l ⊥$ 平面 $C S B$ ；

(2)、点 $Q$ 是棱 $S C$ 于异于 $S$ ， $C$ 的一点，连接 $Q D$ ，当二面角 $Q - B D - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，求此时三棱锥 $Q - B C D$ 的体积.

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22. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是等腰梯形， $A B // C D ， P D ⊥ A D ，$ $2 P D = 2 A D = 2 C D = A B = P B$ .

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、过 $P D$ 的平面交 $A B$ 于点 $E ，$ 若平面 $P D E$ 把四棱锥 $P - A B C D$ 分成体积相等的两部分，求平面 $P A D$ 与平面 $P C E$ 所成锐二面角的余弦值.

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