人教A版2019必修2 8.5 立体几何之直线与平面，平面与平面平行

试卷更新日期：2021-05-10 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知两条相交直线 $m$ ， $n$ 和三个不同的平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，则下列条件成立推不出 $α // β$ 的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ B、若 $α // γ$ ， $β // γ$ C、若 $m // α$ ， $m // β$ D、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m // β$ ， $n // β$

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2. 如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是（）

A、A，B，C，D四点中必有三点共线 B、直线 $A B$ 与 $C D$ 相交 C、A，B，C，D四点中不存在三点共线 D、直线 $A B$ 与 $C D$ 平行

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3. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $C C_{1}$ 的中点， $F$ 为底面 $A B C D$ 内一点，则“ $F$ 为棱 $B C$ 的中点”是“ $E F //$ 平面 $A B C_{1} D_{1}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知平面 $α //$ 平面 $β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $m$ ， $n$ 是平行直线 B、 $m$ ， $n$ 是异面直线 C、 $m$ ， $n$ 是共面直线 D、 $m$ ， $n$ 是不相交直线

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5. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 是底面正方形 $A B C D$ 的中心， $M$ 是 $D_{1} D$ 的中点， $N$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则直线 $N O$ ， $A M$ 的位置关系是（）

A、平行 B、相交 C、异面垂直 D、异面不垂直

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6. 三棱锥 $P - A B C$ 的各棱长都相等， $D 、 E 、 F$ 分别是 $A B 、 B C 、 C A$ 的中点，下列四个结论中不成立的是（）

A、 $B C / /$ 平面 $P D F$ B、 $D F ⊥$ 平面 $P A E$ C、平面 $P D E ⊥$ 平面 $A B C$ D、平面 $P A E ⊥$ 平面 $A B C$

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7. 已知E，F是四面体的棱 $A B$ ， $C D$ 的中点，过 $E F$ 的平面与棱 $A D$ ， $B C$ 分别相交于G，H，则（）

A、 $G H$ 平分 $E F$ ， $\frac{B H}{H C} = \frac{A G}{G D}$ B、 $E F$ 平分 $G H$ ， $\frac{B H}{H C} = \frac{G D}{A G}$ C、 $E F$ 平分 $G H$ ， $\frac{B H}{H C} = \frac{A G}{G D}$ D、 $G H$ 平分 $E F$ ， $\frac{B H}{H C} = \frac{G D}{A G}$

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8. 分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是（）

A、相交 B、异面 C、异面或相交 D、平行

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二、多选题

9. 设 $α$ ， $β$ 为两个平面，则下列条件中是“ $α // β$ ”成立的必要不充分条件有（）

A、 $α$ 内有无数条直线与平行 B、 $α$ 内有两条相交直线与 $β$ 平行 C、 $α$ ， $β$ 垂直于同一平面 D、 $α$ ， $β$ 平行于同一平面

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10. 下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）

A、 $A E / / C D$ B、 $C H / / B E$ C、 $D G ⊥ B H$ D、 $B G ⊥ D E$

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11. 如图，在四面体 $A B C D$ 中，截面 $P Q M N$ 是正方形，则在下列命题中，正确的为（）

A、 $A C ⊥ B D$ B、 $A C / /$ 截面 $P Q M N$ C、 $A C = B D$ D、异面直线 $P M$ 与 $B D$ 所成的角为 $45 °$

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12. 如图，空间四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ 的中点，下列结论正确的是（）

A、 $A D // E G$ B、 $A C //$ 平面 $E F G$ C、 $B D //$ 平面 $E F G$ D、 $A D$ ， $F G$ 是一对相交直线

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三、填空题

13. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $E ， F ， G$ 分别是 $C_{1} D_{1} ， A A_{1} ， B C$ 的中点， $B D_{1}$ 与平面 $E F G$ （填“平行”或“不平行”）；在正方体的12条面对角线中，与平面 $E F G$ 平行的面对角线有条．

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14. 已知 $α, β$ 是空间两个不同的平面， $m, n$ 是空间两条不同的直线，给出的下列说法：
①若 $m / / α ， n / / β$ ，且 $m / / n$ ，则 $α / / β$ ；

②若 $m / / α ， n / / β$ ，且 $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ ；

③若 $m ⊥ α ， n ⊥ β$ ，且 $m / / n$ ，则 $α / / β$ ；

④若 $m ⊥ α ， n ⊥ β$ ，且 $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ .

其中正确的说法为(填序号)

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15. 已知四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是边长为4的正方形， $S D ⊥$ 面 $A B C D$ ，点 $M$ 、 $N$ 分别是 $A D 、 C D$ 的中点， $P$ 为 $S D$ 上一点，且 $S D = 3 P D = 3$ ， $H$ 为正方形 $A B C D$ 内一点，若 $S H$ //面 $P M N$ ，则 $S H$ 的最小值为.

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16. 如图所示，平面 $α //$ 平面 $β$ ， $P A = 2$ ， $A B = 6$ ， $B D = 12$ ，则 $A C =$ ．

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四、解答题

17. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $F$ 在棱 $C C_{1}$ 上，过 $B$ ， $D_{1}$ ， $F$ 三点的正方体的截面 $α$ 与直线 $A A_{1}$ 交于点 $E$ .

(1)、找到点 $E$ 的位置，作出截面 $α$ （保留作图痕迹），并说明理由；

(2)、已知 $C F = a$ ，求 $α$ 将正方体分割所成的上半部分的体积 $V_{1}$ 与下半部分的体积 $V_{2}$ 之比.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $E$ ， $F$ 分别为 $P C$ ， $B D$ 的中点，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P A = P D = \frac{\sqrt{2}}{2} A D$ .

(1)、求证： $E F ∥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求三棱锥 $C - P B D$ 的体积.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A D = 2$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $P B$ 、 $A C$ 的中点.

(1)、证明： $E F //$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求三棱锥 $E - A B F$ 的体积.

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20. 如图所示，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，棱长AB=1.

（Ⅰ）求异面直线A₁B与 B₁C所成角的大小；

（Ⅱ）求证：平面A₁BD∥平面B₁CD₁ ．

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