浙教版备考2021年中考数学一轮复习专题34 三角函数及其应用

试卷更新日期：2021-05-09 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，则sinA的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、以上都不对

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2. 如图，某河堤迎水坡AB的坡比 $i = \tan ∠ C A B = 1 ： \sqrt{3}$ ，堤高 $B C = 5 m$ ，则坡面AB的长是（）

A、5m B、10m C、 $5 \sqrt{3}$ m D、8m

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3. 如果锐角 $α$ 的正切值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，那么下列结论中正确的是（）

A、 $α = 30 °$ B、 $α = 60 °$ C、 $30 ° < α < 45 °$ D、 $45 ° < α < 60 °$

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4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝ $\frac{3}{4}$ ，则sin A等于（）．

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= $\frac{2}{3}$ ，则tanB=（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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6. 若规定 $\sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β$ ，则sin15°=（）

A、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

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7. 已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A= $α$ ，那么CD的长为（）

A、 $m \cdot \sin α \cdot \tan α$ B、 $m \cdot \sin α \cdot \cos α$ C、 $m \cdot \cos α \cdot \tan α$ D、 $m \cdot \cos α \cdot \cot α$

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9. 如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角α为30°，看这栋楼底部C处的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离AD为90米，则这栋楼的高度BC为（）

A、 $\frac{400}{3} \sqrt{3}$ 米 B、90 $\sqrt{3}$ 米 C、120 $\sqrt{3}$ 米 D、225米

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10. 一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（　　）

A、 $10 \sqrt{3}$ 海里/时 B、30海里/时 C、 $20 \sqrt{3}$ 海里/时 D、 $30 \sqrt{3}$ 海里/时

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二、填空题

11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是.

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12. 下列结论中（其中 $α$ ， $β$ 均为锐角），正确的是．（填序号）
① $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ ；② $\cos 2 α = 2 \cos α$ ；③当 $0 ° < α < β < 90 °$ 时， $0 < \sin α < \sin β < 1$ ；④ $\sin α = \cos α \cdot \tan α$ ．

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13. 化简： $\frac{\sin 22 °}{\cos 68 °} - 2 \sqrt{{(\cos 60 ° - 1)}^{2}} =$ .

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14. 如图是一可调节座椅的侧面示意图，靠背AO与地面垂直.为了使座椅更舒适，现调整靠背，把OA绕点O旋转到 $O A^{'}$ 处.若 $A O = m$ ， $∠ A O A' = α$ ，则调整后点 $A^{'}$ 比调整前点A的高度降低了（用含m， $α$ 的代数式表示）.

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15. 如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β，则tanβ的值是.

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16. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $c o s B = \frac{2}{3}$ ，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到 $R t △ F E C$ ，其中点E正好落在AB上，EF与AC相交于点D，那么 $\frac{A E}{E B} =$ ， $\frac{A D}{F D} =$ .

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三、综合题

17. 某大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长.（结果精确到0.1米， $\sqrt{3}$ ≈1.73）

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18. 解下列两题：

(1)、已知 $\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$ ，求 $\frac{2 a + 3 b}{a}$ 的值；

(2)、已知α为锐角，且2 $\sqrt{3}$ sinα=4cos30°﹣tan60°，求α的度数.

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19. 如图，三个景点A，B，C之间各建有笔直的健身小道.经测量，景点B在景点A的正东方向，景点C在景点A北偏东60°的方向上，同时也在景点B北偏东45°的方向上，已知 $B C = 4 \sqrt{2} km$ .“运动达人”小敏从景点C出发，沿着 $C - B - A - C$ 的路径健步走到景点B，景点A，再回到景点C.

求：

(1)、景点A，B间的距离；

(2)、小敏健步走的总路程.

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20. 已知抛物线y＝ax²﹣2ax+c(a＜0)的图象过点A(3，m).

(1)、当a＝﹣1，m＝0时，求抛物线的顶点坐标；

(2)、如图，直线l：y＝kx+c(k＜0)交抛物线于B，C两点，点Q(x，y)是抛物线上点B，C之间的一个动点，作QD⊥x轴交直线l于点D，作QE⊥y轴于点E，连接DE.设∠QED＝β，当2≤x≤4时，β恰好满足30°≤β≤60°，a＝.

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21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB上的中点，连接CD，以CD为直径作⊙O，分别与AC、BC交于点M、N．过点N作NE⊥AB，垂足为点E．

(1)、求证：NE为⊙O的切线；

(2)、连接MD，若NE＝3，sin∠BCD＝ $\frac{3}{5}$ ，求MD的长．

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22. 小芳身高1.6米，此时太阳光线与地面的夹角为45°.

(1)、若小芳正站在水平地面A处上时，那么她的影长为多少米？

(2)、若小芳来到一个坡度i= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 的坡面底端B处，当她在坡面上至少前进多少米时，小芳的影子恰好都落在坡面上？

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23. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB边上一点，D是AC边上一点，且点D不与A、C重合，ED⊥AC.

(1)、当sinB＝ $\frac{1}{2}$ 时，
①求证：BE＝2CD；

②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）.BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立.请说明理由.

(2)、当sinB＝ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2 $\sqrt{5}$ ，求线段CD的长.

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24. 如图1是某体育看台侧面的示意图，观众区AC的坡度i＝1：2，顶端C离水平地面AB的高度为15m，顶棚外沿处的点E恰好在点A的正上方，从D处看E处的仰角α＝30°，竖直的立杆上C，D两点间的距离为5m.

(1)、求观众区的水平宽度AB.

(2)、求图1中点E离水平地面的高度EA.

(3)、因为遮阳需要，现将顶棚ED绕D点逆时针转动11°30′，若E点在地面上的铅直投影是点F（图2），求AF.（sin11°30′≈0.20，cos11°30′≈0.98，tan11°30′≈0.20；sin18°30′≈0.32，cos18°30′≈0.95，tan18°30′≈0.33，结果精确到0.1m）

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