浙教版备考2021年中考数学一轮复习专题31 命题与证明

试卷更新日期：2021-05-09 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 下列语句是命题的是（）
（1）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余；（2）请画出两条互相平行的直线；（3）过直线外一点作已知直线的垂线；（4）两点之间，线段最短.

A、（2）（3） B、（3）（4） C、（1）（2） D、（1）（4）

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2. 把命题“等角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是（）

A、如果两个角互余，那么这两个角相等 B、如果两个角相等，那么这两个角互为余角 C、如果两个角相等，那么这两个角的余角也相等 D、如果两个角互余，那么这两个角的余角相等

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3. 对于命题“ $| a | = a$ （a为实数）”，能说明它是假命题的反例是（）

A、 $a = 0$ B、 $a = - 2$ C、 $a = \sqrt{2}$ D、 $a = 2$

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4. 用反证法证明“a≥b”时应先假设（）

A、a≤b B、a＞b C、a＜b D、a≠b

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5. 如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，据此可以证明△BAD≌△BCD，证明的依据是（）

A、AAS B、ASA C、SAS D、HL

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6. 下列条件中，不能证明△ABC是直角三角形的是（）

A、在△ABC中，∠B＝∠C -∠A B、在△ABC中，a²＝(b＋c) (b－c) C、在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D、在△ABC中，a：b：c＝4：5：3

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7. 如图，下列推理及所证明的理由都正确的是（）

A、若 $A B / / D G$ ，则 $∠ B A C = ∠ D C A$ ，理由是内错角相等，两直线平行 B、若 $A B / / D G$ ，则 $∠ 3 = ∠ 4$ ，理由是两直线平行，内错角相等 C、若 $A E / / C F$ ，则 $∠ E = ∠ F$ ，理由是内错角相等，两直线平行 D、若 $A E / / C F$ ，则 $∠ 3 = ∠ 4$ ，理由是两直线平行，内错角相等

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8. 下列命题是真命题的是（）

A、如果a+b=0，那么 a，b 互为相反数; B、同位角相等; C、过一点有且只有一条直线与已知直线平行; D、两条直线被第三条直线所截，内错角相等。

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9. 下列命题的逆命题是假命题的是（）

A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 C、等腰三角形底边上的高线和中线互相重合 D、两个全等三角形的面积相等

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10. 下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 命题“同位角相等，两直线平行”的结论。

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12. 命题“如果m是整数，那么m一定是有理数”；则它的逆命题是命题（填写“真”或“假”）.

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13. 请举反例说明命题“对于任意实数x， $x^{2} + 6 x + 5$ 的值总是正数”是假命题，你举的反例是 $x =$ ．（写出一个值即可）

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14. 证明命题“直角三角形中的两个锐角中至少有一个角不小于45°”时，如果用反证法证明，应先假设．

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15. 如图，点 $D$ ， $E$ 分别在△ $A B C$ 的 $A B$ ， $A C$ 边上．只需添加一个条件即可证明△ $A D E$ ∽△ $A C B$ ，这个条件可以是．（写出一个即可）

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16. 以m=为反例，可以证明“关于x的一元二次方程x²+x+m=0必有实数根”是错误的命题(写出一个m的值即可)。

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三、解答题

17. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等（要求画图，写已知、求证、证明）．

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18. 写出定理“等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高线互相重合”的逆命题，并证明这个命题是真命题。
逆命题：。

已知：。

求证：。

证明：

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19. 如图，①AB $//$ CD，②BE平分∠ABD，③∠1+∠2=90°，④DE平分∠BDC.

(1)、请以其中三个为条件，第四个为结论，写出一个命题；

(2)、判断这个命题是否为真命题，并说明理由.

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20. 根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．

(1)、某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否符合题意（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；（命题）

②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（命题）

③两个大小不同的正方形相似．（命题）

(2)、如图，在四边形 $A B C D$ 和四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ A B C = ∠ A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $∠ B C D = ∠ B_{1} C_{1} D_{1} ， \frac{A B}{A_{1} B_{1}} = \frac{B C}{B_{1} C_{1}} = \frac{C D}{C_{1} D_{1}}$ ，求证：四边形 $A B C D$ 与四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 相似．

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21. 数学活动实验、猜想与证明

(1)、问题情境
数学活动课上，小颖向同学们提出了这样一个问题：如图（1），在矩形ABCD中，AB=2BC，M、N分别是AB，CD的中点，作射线MN，连接MD，MC，请直接写出线段MD与MC之间的数量关系．

(2)、解决问题
小彬受此问题启发，将矩形ABCD变为平行四边形，其中∠A为锐角，如图（2），AB=2BC，M，N分别是AB，CD的中点，过点C作CE⊥AD交射线AD于点E，交射线MN于点F，连接ME，MC，则ME=MC，请你证明小彬的结论；

(3)、小丽在小彬结论的基础上提出了一个新问题：∠BME与∠AEM有怎样的数量关系？请你回答小丽提出的这个问题，并证明你的结论．

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22. （问题原型）如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 的垂直平分线 $E F$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，交 $A C$ 于点 $O$ .求证：四边形 $A E C F$ 是菱形.

（小海的证法）证明：

$∵$ $E F$ 是 $A C$ 的垂直平分线，

$∴$ $O A = O C$ ，（第一步）

$O E = O F$ ，（第二步）

$E F ⊥ A C$ .（第三步）

$∴$ 四边形 $A E C F$ 是平行四边形.（第四步）

$∴$ 四边形 $A E C F$ 是菱形. （第五步）

（老师评析）小海利用对角线互相平分证明了四边形 $A E C F$ 是平行四边形，再利用对角线互相垂直证明它是菱形，可惜有一步错了.

（挑错改错）

(1)、小海的证明过程在第步上开始出现了不正确.

(2)、请你根据小海的证题思路写出此题的正确解答过程，

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23. 请判断下列命题的真假性，若是假命题请举反例说明，若是真命题，请证明．

(1)、三角形一条边的两个顶点到这条边的中线所在直线的距离相等．

(2)、若 $a \leq 1$ ，则点 $A (- 2 a + 3 ， a - 1)$ 在第四象限．

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24. 嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证.

(1)、已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=
求证：四边形ABCD是四边形.

在方框中填空，以补全已知和求证；

(2)、按嘉淇同学的思路写出证明过程；

(3)、用文字叙述所证命题的逆命题.

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25. 以下是某班数学兴趣小组根据课本习题探究数学规律的过程：

(1)、如图1，已知直线EF是经过平行四边形ABCD对角线交点的任意一条直线，直线EF与AD ，BC分别交于点E ，F.
①求证：四边形ABFE与四边形CDEF的面积相等；

②经过以上证明，可以总结出平行四边形一个一般结论：过平行四边形对角线交点的任意一条直线，.

(2)、探究以上命题的逆命题是否是真命题：
①如图2，已知点E ，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的两点，（点E ，F不与顶点重合），直线EF将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分.

求证：直线EF经过平行四边形ABCD对角线的交点.

②直接回答：经过探究得知（1）②中的命题的逆命题是真命题还是假命题？

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26. 问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．

例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．

证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：

这个图形的面积可以表示成：

（a+b）²或a²+2ab+b²

∴（a+b）²＝a²+2ab+b²

这就验证了两数和的完全平方公式．

类比解决：

(1)、请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：1³+2³＝3²？

如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝1³

B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝2³而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．

由此可得：1³+2³＝（1+2）²＝3²

(2)、请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：1³+2³+3³＝．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．

(3)、问题拓广：
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：1³+2³+3³+…+n³＝．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）

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27. 问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．

证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG

∵M是 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点，

∴MA＝MC

……

(1)、请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

(2)、实践应用：
①如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为；

②如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点，连接DB，∠ACD＝45°，AE⊥CD于点E，△BCD的周长为4 $\sqrt{2}$ +2，BC＝2，请求出AC的长．

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