人教版2019必修二 8.3 立体几何简单几何体的表面积与体积

试卷更新日期：2021-05-09 类型：同步测试

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一、单选题

1. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、9 C、 $\frac{27}{2}$ D、27

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2. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（）

A、3π B、8π C、12π D、14π

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3. 下图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（）

A、 $12 π a^{2}$ B、 $6 π a^{2}$ C、 $3 π a^{2}$ D、 $π a^{2}$

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4. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $△ B C D$ 是边长为3的正三角形， $A B = \sqrt{3}$ ，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A、21π B、6π C、24π D、15π

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5. 经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（）

A、 $4 \sqrt{2} π$ B、 $4 π$ C、 $2 \sqrt{2} π$ D、 $2 π$

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6. 已知正方体的体积是 $8$ ，则这个正方体的外接球的体积是（）

A、 $2 \sqrt{3} π$ B、 $4 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $8 \sqrt{3} π$

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7. 玉璧是我国传统的玉礼器之一，也是“六瑞”之一，象征着吉祥等寓意.穿孔称作“好”，边缘器体称作“肉”.《尔雅•释器》“肉倍好谓之璧，好倍肉谓之瑷，肉好“若一谓之环”.一般把体形扁平､周边圆形､中心有一上下垂直相透的圆孔的器物称为璧.如图所示，某玉璧通高 $2 . 5cm$ ，孔径 $8cm$ .外径 $18cm$ ，则该玉璧的体积为（）

A、 $158.5 π {cm}^{3}$ B、 $16 0. 5 π {cm}^{3}$ C、 $162.5 π {cm}^{3}$ D、 $164.5 π {cm}^{3}$

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8. 底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$ C、 $2 \sqrt{6} π$ D、 $\sqrt{6} π$

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二、多选题

9. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为 $θ$ ，这个角接近 $30 °$ ，若取 $θ = 30 °$ ，侧棱长为 $\sqrt{21}$ 米，则（）

A、正四棱锥的底面边长为6米 B、正四棱锥的底面边长为3米 C、正四棱锥的侧面积为 $24 \sqrt{3}$ 平方米 D、正四棱锥的侧面积为 $12 \sqrt{3}$ 平方米

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10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ ， $F$ 分别是 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点，过 $E$ ， $F$ 的平面 $α$ 与该正方体的每条棱所成的角均相等，以平面 $α$ 截该正方体得到的截面为底面，以 $B_{1}$ 为顶点的棱锥记为棱锥 $Ω$ ，则（）

A、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球的体积为 $4 \sqrt{3} π$ B、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的内切球的表面积为 $\frac{4}{3} π$ C、棱锥 $Ω$ 的体积为3 D、棱锥 $Ω$ 的体积为 $\frac{3}{2}$

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11. 已知球 $O$ 是正三棱锥(底面为正三角形，点在底面的射影为底面中心) $A - B C D$ 的外接球， $B C = 3$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，点 $E$ 在线段 $B D$ 上，且 $B D = 6 B E$ ，过点 $E$ 作球 $O$ 的截面，则所得截面圆的面积可能是（）

A、π B、2π C、3π D、4π

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12. 已知正三棱锥 $P - A B C$ 的底面边长为1，点 $P$ 到底面 $A B C$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，则（）

A、该三棱锥的内切球半径为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、该三棱锥外接球半径为 $\frac{7 \sqrt{2}}{12}$ C、该三棱锥体积为 $\frac{\sqrt{2}}{12}$ D、 $A B$ 与 $P C$ 所成的角为 $\frac{π}{2}$

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三、填空题

13. 已知球 $O$ 是三棱锥 $P - A B C$ 的外接球， $P A = A B = P B = A C = 2$ ， $C P = 2 \sqrt{2}$ ，点 $D$ 是 $P B$ 的中点，且 $C D = \sqrt{7}$ ，则球 $O$ 的表面积为.

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14. “中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图，其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠表面积 $S = 2 π R h$ ，其中 $R$ 为球的半径， $h$ 球冠的高)，设球冠底的半径为 $r ，$ 周长为 $C ，$ 球冠的面积为 $S$ ，则 $\frac{r}{R}$ 的值为．（结果用 $S 、 C$ 表示）

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15. 已知正方体的所有顶点在一个球面上，若这个球的表面积为 $12 π$ ，则这个正方体的体积为.

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16. 某几何体的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为 $1$ ），则该几何体的体积为，其外接球的半径为.

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四、解答题

17. 已知圆锥的底面半径为1，高为 $\sqrt{3}$ ，求圆锥的表面积.

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18. 将圆心角为 $\frac{4 π}{3}$ ，半径为 $1 c m$ 的扇形，卷成圆锥形容器，求：

(1)、这个容器的侧面积；

(2)、这个容器的容积.

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19. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $F$ 在棱 $C C_{1}$ 上，过 $B$ ， $D_{1}$ ， $F$ 三点的正方体的截面 $α$ 与直线 $A A_{1}$ 交于点 $E$ .

(1)、找到点 $E$ 的位置，作出截面 $α$ （保留作图痕迹），并说明理由；

(2)、已知 $C F = a$ ，求 $α$ 将正方体分割所成的上半部分的体积 $V_{1}$ 与下半部分的体积 $V_{2}$ 之比.

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20. 已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 $\sqrt{2}$ 、 $\sqrt{3}$ 、 $\sqrt{6}$ ，

(1)、求这个长方体的对角线长。

(2)、求这个长方体的的体积

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21. 如图是一个空间几何体的三视图，其正视图与侧视图是边长为4cm的正三角形、俯视图中正方形的边长为4cm，

(1)、画出这个几何体的直观图（不用写作图步骤）；

(2)、请写出这个几何体的名称，并指出它的高是多少；

(3)、求出这个几何体的表面积。

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22.

(1)、某圆锥的侧面展开图为圆心角为 $120 °$ ，面积为 $3 π$ 的扇形，求该圆锥的表面积和体积.

(2)、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为 $\sqrt{6}$ 的正三角形，且该三棱柱的外接球的表面积为 $12 π$ ，求该三棱柱的体积.

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