上海市静安区2021届高三上学期数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-08 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知 $a, b \in R$ ，命题：若 $a b \neq 0$ ，则 $a \neq 0$ 且 $b \neq 0$ 的逆否命题是．

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2. ${(2 x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项是.

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3. 如图所示，弧长为 $\frac{π}{2}$ ，半径为1的扇形(及其内部)绕 $O B$ 所在的直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为.

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4. 设 $i$ 是虚数单位，复数 $\frac{1 + a i}{2 - i}$ 为纯虚数，则实数 $a$ 为

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5. 在△ABC中，AB＝2，AC＝1，D为BC的中点，则 $\vec{A D} \cdot \vec{B C}$ ＝.

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6. 某校的“希望工程”募捐小组在假期中进行了一次募捐活动.他们第一天得到15元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多10元.要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要天.(结果取整)

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7. 某校开设9门选修课程，其中A ， B ， C三门课程由于上课时间相同，至多选一门，若规定每位学生选修4门，则一共有种不同的选修方案.

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8. 如图所示，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动点 $P$ 以每秒 $\frac{π}{2}$ 的角速度从点 $A$ 出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到 $B$ ，再以每秒 $\frac{π}{3}$ 的角速度从点 $B$ 沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点 $O$ ，则上述过程中动点 $P$ 的纵坐标 $y$ 关于时间 $t$ 的函数表达式为.

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二、单选题

9. 若 $a > b$ ， $c > d$ ，则下面不等式中成立的一个是（）．

A、 $a + d > b + c$ B、 $a c > b d$ C、 $d - a < c - b$ D、 $\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$

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10. 下列四个选项中正确的是（）

A、关于 $x, y$ 的方程 $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ ( $D, E, F \in R$ )的曲线是圆 B、设复数 $z_{1}, z_{2}$ 是两个不同的复数，实数 $a > 0$ ，则关于复数 $z$ 的方程 $| z - z_{1} | + | z - z_{2} | = 2 a$ 的所有解在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆 C、设 $A, B$ 为两个不同的定点， $k$ 为非零常数，若 $\vec{P A} | - | \vec{P B} | = k$ ，则动点 $P$ 的轨迹为双曲线的一支 D、双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{35} + y^{2} = 1$ 有相同的焦点

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $α$ 、 $β$ 是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆(圆心在坐标原点 $O$ )于A、B两点.若A、B两点的纵坐标分别为正数a、b ，且 $\cos (α - β) \leq 0$ ，则a+b的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、不存在

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三、解答题

12. 如图所示，等腰梯形 $A B F E$ 是由正方形 $A B C D$ 和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成， $A B = 1$ ， $C F = 2$ .现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点 $F$ 移至点 $G$ ，使二面角 $E - B C - G$ 的大小为 $60^{\circ}$ .

(1)、求四棱锥 $G - A B C E$ 的体积；

(2)、求异面直线 $A E$ 与 $B G$ 所成角的大小.

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13. 设 $f (x) = \frac{a + 2^{x}}{1 - 2^{x}}$ ，其中常数 $a \in R$ .

(1)、设 $a = 0$ ， $D = (1, + \infty)$ ，求函数 $y = f (x)$ ( $x \in D$ )的反函数；

(2)、求证：当且仅当 $a = 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 为奇函数.

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14. 如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔 $C D$ 和 $E F$ .张明在只有量角器(可以测量从测量人出发的两条射线的夹角)和直尺(可测量步行可抵达的两点之间的直线距离)的条件下，为了计算塔 $C D$ 的高度，他在点A测得点 $D$ 的仰角为 $30^{\circ}$ ， $∠ C A B = 75^{\circ}$ ，又选择了相距100米的 $B$ 点，测得 $∠ A B C = 60^{\circ}$ .

(1)、请你根据张明的测量数据求出塔 $C D$ 高度；

(2)、在完成（1）的任务后，张明测得 $∠ B A E = 90^{\circ}$ ，并且又选择性地测量了两个角的大小(设为 $α$ ､ $β$ ).据此，他计算出了两塔顶之间的距离 $D F$ .
请问：①张明又测量了哪两个角？(写出一种测量方案即可)

②他是如何用 $α ， β$ 表示出 $D F$ 的？(写出过程和结论)

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15. $n^{2} (n \geq 5)$ 个正数排成 $n$ 行 $n$ 列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数 $q$ 的等比数列.
$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdot \cdot \cdot & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdot \cdot \cdot & a_{2 n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdot \cdot \cdot & a_{3 n} \\ \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & \cdot \cdot \cdot & a_{n n} \end{matrix})$

已知 $a_{12} = 1$ ， $a_{14} = 2$ ， $a_{55} = \frac{5}{32}$ .

(1)、设 $b_{n} = a_{1 n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $S_{n} = a_{11} + a_{21} + a_{31} + \cdot \cdot \cdot + a_{n 1}$ ，求证： $S_{n} < 1$ ( $n \in N^{*}$ )；

(3)、设 $T_{n} = a_{11} + a_{22} + a_{33} + \cdot \cdot \cdot + a_{n n}$ ，请用数学归纳法证明： $T_{n} = 2 - \frac{n + 2}{2^{n}} (n \in N^{*})$ .

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16. 如图所示，定点 $F$ 到定直线 $l$ 的距离 $M F = 3$ .动点 $P$ 到定点 $F$ 的距离等于它到定直线 $l$ 距离的2倍.设动点 $P$ 的轨迹是曲线 $Γ$ .

(1)、请以线段 $M F$ 所在的直线为 $x$ 轴，以线段 $M F$ 上的某一点为坐标原点 $O$ ，建立适当的平面直角坐标系 $x O y$ ，使得曲线 $Γ$ 经过坐标原点 $O$ ，并求曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、请指出（1）中的曲线 $Γ$ 的如下两个性质：①范围；②对称性.并选择其一给予证明.

(3)、设（1）中的曲线 $Γ$ 除了经过坐标原点 $O$ ，还与 $x$ 轴交于另一点 $C$ ，经过点 $F$ 的直线 $m$ 交曲线 $Γ$ 于 $A$ ， $B$ 两点，求证： $C A ⊥ C B$ .

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